Piatto con fibre collegate geometricamente e adeguate è corretto
Permettere $S$ essere uno schema noetheriano locale.
Lemma 1. Se$f: X \to S$ un morfismo piatto proprio, allora ha fibre proprie, e se inoltre le fibre generiche sono unite geometricamente tutte le sue fibre lo sono (per semicontinuità, EGA IV.15.5.4).
C'è un inverso:
Lemma 2. se$f$ è piatto (o anche solo univ. sommerso), di tipo finito separato, ha fibre proprie e geometricamente connesse quindi è proprio (EGA IV.15.7.10).
Se $S$ è un dvr, c'è un risultato intermedio:
Lemma 3 . Permettere$f:X \to S$essere separati piatti di tipo finito, S a dvr. Se la fibra speciale è corretta e la fibra generica è collegata geometricamente, allora$f$è corretto. Quindi la fibra speciale è collegata geometricamente dal risultato sopra.
Prova : in effetti la prova è in Serre-Tate, Buona riduzione delle varietà abeliane , Lemma 3 . Con la discesa fpqc si riducono a$S=\mathop{Spec} \hat{A}$lo spettro di un anello noetheriano completo e utilizzare il sollevamento dei componenti appropriati della fibra speciale. (Il Lemma lo presume$f$ è liscia ma penso che usino solo che è univ open).
Quindi la seguente domanda è naturale:
Domanda. Se$f:X \to S$è piatto separato, di tipo finito con fibre generiche geometricamente connesse. Se la fibra a$s$ è corretto, è $f$ proprio a $s$ (che è corretto in un quartiere di $s$)?
Essenzialmente vorrei combinare il criterio di valutazione propria locale (di EGA IV.15.7.5) con la versione https://stacks.math.columbia.edu/tag/0894dove possiamo limitarci a un open denso per ridurre al caso precedente. funziona?
Penso che se la fibra è corretta $s$ e tutte le fibre di generazione di $s$ sono geometricamente connessi, quindi $f$ è davvero corretto $s$ (quindi fibre di generazioni di $s$sono corrette). Infatti utilizzando il criterio valutativo locale riduciamo esattamente al Lemma 3.
Al contrario, se tutte le fibre di generazioni di $s$ sono propers e le fibre generiche (abbiamo bisogno solo per i generici $\eta$ specializzato in $s$) sono quindi geometricamente connessi $f$è anche corretto. Effettivamente prendiamo una catena$s_0 \to s_1 \to \dots s_n=s$ e noi Lemma 3 concludiamo questo $f$ è corretto a $s_1$, quindi la sua fibra è collegata geometricamente, quindi $f$ è corretto a $s_2$, e così via.
Risposte
Quindi penso di avere la seguente prova: poiché la condizione è topologica, possiamo supporre che tutto sia ridotto. Da$f$ è separato, è sufficiente dimostrarlo $f$ è corretto a $y$ ad ogni componente irriducibile di $X$. Quindi ci riduciamo a$S$ e $X$ integrale e $f$dominante. Ma in questo caso possiamo usare EGA IV.15.7.1, che afferma che è sufficiente controllare il criterio valutativo per$S'$ un dvr quando il punto generico $\eta$ di $S'$ mappe al punto generico di $X$ quindi anche al punto generico di $Y$e il punto chiuso $s$ di $S'$ mappe a $Y$. Ma poi siamo ridotti al Lemma 3 .