Polinomi per i quali la mappa polinomiale indotta è zero

Question

Permettere $R$ essere un anello commutativo con $1$.

Per curiosità, mi chiedo in cosa consista lo stato dell'arte $I_R=\{P\in R[X]\mid P(r)=0 \mbox{ for all }r\in R\}$.

Questo è un ideale di $R[X]$, che può essere riscritto come $I_R=\displaystyle\bigcap_{r\in R}(X-r)R[X]$.

Quello che so è questo $I_R=(0)$ Se $R$ è un dominio integrale infinito, e ovviamente diverso da zero se $R$ è finito.

Ci sono molte domande che mi sono venute in mente.

Domande.

1. un. C'è un bel modo per caratterizzare gli anelli$R$ tale che $I_R\neq (0)$?

   b. Come sottoquestione correlata, possiamo caratterizzare gli anelli$R$ tale che ogni polinomio diverso da zero ha un numero finito di radici in $R$ ?

2. È $I_R$ un ideale principale?

3. quando $I_R\neq (0)$, cosa possiamo dire del grado minimo di un elemento diverso da zero di $I_R$ , specialmente quando $R$è finito? Fa tutti i gradi$d\geq 2$ può succedere?

Alcuni pensieri. Prima di tutto, non sono sicuro che la domanda 1. abbia una risposta semplice. Se$R$ è infinito, si possono verificare entrambi i casi: se $R$ è un dominio integrale infinito, quindi $I_R=(0)$, mentre se $R=\mathbb{F}_2^{\mathbb{N}}$, $I_R$ contiene $X^2-X$ (e sono abbastanza fiducioso che $I_R=(X^2-X)$ in questo caso).

Per quanto riguarda il calcolo di $I_R$, si può osservare quanto segue. Assumere$char(R)=c>0$, e lascia $p$ essere il più piccolo primo divisore di $c$. Permettere$f_R=\displaystyle\prod_{i=0}^{p-1}(X-i\cdot 1_R)$.

È facile verificare che gli ideali $(X-i\cdot 1_R)R[X], 0\leq i\leq p-1$ sono comassimali a coppie, quindi qualsiasi elemento di $I_R$ è un multiplo di $f_R$. Da$f_R$ è monic, qualsiasi diverso da zero $P\in I_R$ ha una laurea $\geq p$.

Nota che se $R=\mathbb{F}_{q}$ dove $q=p^r$, noi abbiamo $I_R=(X^q-X)R[X]$, quindi il grado minimo può essere $>p$ Se $r>1$. Tuttavia, ci sono alcuni casi in cui il grado minimo è esattamente$p$

Ad esempio, if $R=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, $\bar{2}X(X-\bar{1})\in I_R$. Più in generale, se$R=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, e $p$ è il più piccolo primo divisore di $n$, $\overline{n/p}f_R\in I_R$.

Non ho pensato seriamente alla Domanda 2., ma sarei sorpreso se la risposta fosse Sì. Probabilmente sarebbe un potenziale controesempio$R=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ (poiché entrambi $\bar{2}X(X-\bar{1})$ e $X(X-\bar{1}) (X-\bar{2})(X-\bar{3})$ restare in $I_R$, è dubbio che $I_R$ è il principale) ma non l'ho ancora risolto.

Modificare. In effetti, se$R=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$, noi abbiamo $I_R=\Bigl(\bar{2}X(X-\bar{1}),X(X-\bar{1}) (X-\bar{2})(X-\bar{3})\Bigr)$. Sono abbastanza sicuro che questo ideale non sia il principale, ma non ho ancora trovato un argomento convincente.

Modifica 2. L'ideale di cui sopra non è davvero principale.

Qualsiasi intuizione su una qualsiasi di queste domande sarebbe carina.

Answer 1

Bella domanda! Questa non è una risposta completa a Q1 ma rispondo a Q3 di seguito (si verificano tutti i gradi). Tutti gli anelli sottostanti sono commutativi.

Chiamiamo un polinomio $f(x) \in R[x]$ svanendo se si trova dentro$I_R$ e chiamiamo $R$ vanificabile se$I_R \neq 0$, e scrivi $(x)_n = x(x-1) \dots (x-(n-1)))$per il fattoriale decrescente . Alcune osservazioni:

• Qualsiasi anello finito è svanibile, da allora $I_R$ contiene $\prod_{r \in R} (x - r)$.
• Se $F$ è un campo, quindi $I_F = (x^q - x)$ Se $F = \mathbb{F}_q$ è finito e $I_F = 0$ Se $F$è infinito. Così$F$ è vanificabile se e solo se è finito.
• Un polinomio evanescente in $(R \times S)[x]$ è appunto, usando l'isomorfismo $(R \times S)[x] \cong R[x] \times S[x]$, una coppia di polinomi a scomparsa in $R$ e in $S$. Quindi$I_{R \times S} = I_R \times I_S$, e $R \times S$ è vanificabile se e solo se entrambi $R$ e $S$ sono, e in particolare un prodotto finito di anelli vanificabili è vanificabile.
• Se un polinomio $f(x) \in R[x]$ sta svanendo quindi la sua immagine in qualsiasi localizzazione $f(x) \in S^{-1} R[x]$sta anche svanendo. Così$S^{-1} I_R$ mappe a $I_{S^{-1} R}$. Se il file localization$R \to S^{-1} R$ è iniettiva allora $S^{-1} I_R = I_{S^{-1} R}$, e in particolare $R$ è vanificabile iff $S^{-1} R$è. Quindi un dominio integrale$R$ è vanificabile iff $\text{Frac}(R)$ è iff $\text{Frac}(R)$ è un campo finito $\mathbb{F}_q$ iff $R$è finito (dal piccolo teorema di Wedderburn ).
• Un polinomio evanescente in un prodotto infinito $(\prod R_i)[x]$ di anelli è una tupla di polinomi che scompaiono in ciascuno $R_i[x]$di grado limitato. Ne consegue che un prodotto infinito$\prod R_i$ è vanificabile se e solo se ciascuno $R_i$ è vanificabile e il grado minimo di un polinomio evanescente è limitato (da una costante non dipendente da $i$). Chiama uno squillo$R$ $d$-vanisabile se è vanificabile con un polinomio di grado evanescente$\le d$; allora stiamo dicendo che un prodotto infinito di$d$-gli anelli di gomma sono $d$-vanishable.
• Se $R$ ha caratteristica $0$ (intendendo la mappa dell'unità $\mathbb{Z} \to R$ è iniettiva) quindi un polinomio evanescente $f(x) \in I_R$ deve essere divisibile per $x - n$ per ogni numero intero $n \in \mathbb{Z}$. Lo stesso vale per l'immagine di$f$ nella localizzazione $\mathbb{Q} \otimes R$, dove possiamo sostenere che gli ideali massimi $x - n$ sono coprimi (o più semplicemente che possiamo ripetutamente fattorizzare $f(x) = (x - n) g(x)$ e sostituisci un altro intero $m$ ottenere $(m - n) g(m) = 0$, quindi $g(m) = 0$, quindi $f(x) = (x - n)(x - m) g(x)$e così via) per concludere che l'immagine di $f$ in $\mathbb{Q} \otimes R$svanisce. Ne consegue che$f$deve avere coefficienti di torsione. In particolare, se$R$ è quindi privo di torsione $I_R = 0$.
  • L'ipotesi senza torsione non può essere abbandonata; Se$R = \mathbb{Z}[\epsilon]/(m \epsilon, \epsilon^2)$ dove $m \ge 2$ è quindi un numero intero positivo $f(x) = \epsilon (x)_m$ sta svanendo anche se $R$ ha caratteristica $0$.
• Se $R$ ha caratteristica $n$ si scompone canonicamente in un prodotto diretto finito di anelli di caratteristica di potenza primaria $p^k$(da CRT), e quindi (da una precedente osservazione) è svanibile se e solo se ciascuno di questi anelli è svanibile. Quindi possiamo supporre che WLOG$n = p^k$è una potenza primaria. In questo caso ogni polinomio evanescente è divisibile per$(x)_p$.
• $R$ ammette una mappa canonica $R \to \prod_P R/P$ a un prodotto di domini integrali, il cui kernel è il nilradicale $\text{Nil}(R)$. Un polinomio evanescente$f \in I_R$ deve proiettarsi in un polinomio che scompare in ciascuno di questi quozienti, quindi se $R/P$ è infinito deve essere $0 \bmod P$. Quindi possiamo dire che se 1) ogni ideale primo minimo di$R$ ha indice infinito e 2) $R$ allora non ha nessun potere $I_R = 0$; questo generalizza l'osservazione sui domini integrali.
  • Se $R$ ha elementi nilpotenti di ordine limitato e $R/\text{Nil}(R)$ è quindi vanificabile $R$è vanificabile. Questo perché, dato un polinomio di fuga diverso da zero in$R/\text{Nil}(R)[x]$, possiamo elevarlo a un polinomio $f(x) \in R[x]$e quindi se gli elementi nilpotenti di $R$ avere ordine al massimo $d$ poi $f(x)^d \in I_R$. Questo potere di$f$ è diverso da zero perché è diverso da zero $\bmod \text{Nil}(R)$ ed è dentro $I_R$ perché, per ipotesi, $f(r) \in \text{Nil}(R)$ per tutti $r \in R$.
  • Se $R/\text{Nil}(R)$ non è poi vanificabile qualsiasi $f \in I_R$ deve avere coefficienti nilpotenti.

Quest'ultima osservazione sui nilpotenti può essere utilizzata per produrre esempi di $R$ tale che il grado minimo di un polinomio (diverso da zero) in $I_R$ è un numero intero positivo arbitrario $\ge 2$, che risponde a Q3. Considera l'anello

$$R = \mathbb{F}_q[\epsilon_1, \epsilon_2, \dots ]/(\epsilon_1, \epsilon_2, \dots )^d$$

ottenuto unendo numerabilmente molti nilpotenti di ordine $d$ per $\mathbb{F}_q$ e poi dichiarando ulteriormente che tutti i monomi in $\epsilon_i$ di grado $d$anche svanire; ciò implica in particolare che tutte le somme di prodotti del$\epsilon_i$ sono nilpotenti dell'ordine $\le d$.

Richiesta: $f(x) = (x^q - x)^d \in I_R$ ha un grado minimo $dq$, e infatti $I_R = ((x^q - x)^d)$.

Prova. Inizia scrivendo qualsiasi$g_0(x) \in I_R$ come $g_0(x) = (x^q - x) g_1(x)$. Ogni elemento$x \in R$ può essere scritto in modo univoco nella forma $x = r + \epsilon$ dove $r \in \mathbb{F}_q$ e $\epsilon$è nilpotente. Se$p(x) = x^q - x$ allora questo dà

$$p(r + \epsilon) = p(r) + p(\epsilon) = \epsilon(-1 + \epsilon^{q-1})$$

e quindi $g_0(r + \epsilon) = 0$ per tutti nilpotente $\epsilon$ significa (usando quello $-1 + \epsilon^{q-1}$ è un'unità) quella $\epsilon g_1(r + \epsilon) = 0$ per tutti $r \in \mathbb{F}_q$ e tutto nilpotente $\epsilon$. Lavorando$\bmod \epsilon^2$ (qui potrei aver bisogno di presumere che $\epsilon$ è uno dei $\epsilon_k$ ma questo va bene) questo dà quello $g_1(r) = 0 \bmod \epsilon$e prendendo $\epsilon$ essere alcuni $\epsilon_k$ che non si verifica nei coefficienti di $g_1$ (questo è dove abbiamo bisogno di molti nilpotenti numerabili) lo dà in effetti $g_1(r) = 0$ per tutti $r \in \mathbb{F}_q$, quindi $g_1(x) = (x^q - x) g_2(x)$ per qualche polinomio $g_2(x)$.

Ora lo stesso argomento di prima lo fornisce $\epsilon^2 g_2(r + \epsilon) = 0$ per tutti $r \in \mathbb{F}_q$ e tutto nilpotente $\epsilon$e come prima di lavorare $\bmod \epsilon^3$ (fintanto che $d \le 3$) dà $g_2(r) = 0 \bmod \epsilon$ per tutti i nilpotenti $\epsilon$ e quindi $g_2(r) = 0$ per tutti $r \in \mathbb{F}_q$. Continuando in questo modo lo troviamo

$$g_0(x) = (x^q - x)^d g_d(x)$$

che è necessario e sufficiente per $g_0(x) \in I_R$ poiché ogni nilpotente ha ordine $\le d$. $\Box$

Ciò che questo esempio e altri come i prodotti infiniti suggeriscono è che gli esempi non noetheriani possono essere stravaganti ma che il caso noetheriano (o qualcosa del genere) dovrebbe essere più facile da caratterizzare.