Prisma rettangolare con volume e superficie

Question

Ecco la domanda: un prisma rettangolare ha un volume di $720$ centimetro$^3$ e una superficie di $666$ centimetro$^2$. Se le lunghezze di tutti i suoi bordi sono numeri interi, qual è la lunghezza del bordo più lungo?

Questo proviene da una competizione precedentemente programmata. Le risposte rapide saranno le più utili.

Puoi impostare equazioni e utilizzare le formule di Vieta per ottenere $x^3+bx^2+333x-720$. Come risolvo il problema dopo questo?

Answer 1

abbiamo $$xyz=720$$ e $$xy+xz+yz=333,$$ dove $x$, $y$ e $z$ sono naturali.

Adesso molla $x\geq y\geq z$.

Quindi, $$720\geq z^3,$$ che dà $$1\leq z\leq8$$ e $z=3$ è valido, che dà $x=16$ e $y=15.$

Answer 2

Fattorizzare $720$ come prodotto di tre fattori, quindi a coppie, i loro prodotti si sommano a $333$. Una volta che vedi questo, sai che due dei fattori devono essere dispari.

Per tentativi ed errori, ottengo il lato più lungo da essere $16$, con gli altri due lati $3$ e $15$. Verifica:

$$3\times15\times16=720,\qquad 2\times(3\times15+15\times16+16\times3)=666.$$