Quale dei due metodi è corretto e perché?
Problema
Un mazzo di carte viene mescolato e poi diviso in due metà di 26 carte ciascuna. Una carta viene pescata da una delle metà, risulta essere un asso. L'asso viene quindi posizionato nel secondo mezzo mazzo. La metà viene quindi mescolata e da essa viene pescata una carta. Calcola la probabilità che questa carta pescata sia un asso.
il mio tentativo: -
lascia che A = numero di assi nel secondo mazzo prima che venga aggiunto un asso
lascia che B = numero di assi nel primo mazzo prima che venga rimosso un asso da esso
let D = evento in cui viene pescato un asso dal secondo mazzo dopo che un asso è aggiunto ad esso
Quello che ci viene chiesto di trovare è: $$\sum_{i=0}^3P(A=i|B>0)\cdot P(D) = \sum_{i=0}^3P(A=i|B>0)\cdot \frac{i+1}{27} $$
ora ci sono due modi per calcolare $P(A=i|B>0)$
- (Protocollo A) restringe lo spazio campione: - poiché B ha almeno un asso, restringiamo lo spazio campione a 51 carte di cui 3 sono assi. $$P(A=i|B>0) = \frac{{{3}\choose{i}}{{48}\choose{26-i}}}{{{51}\choose{26}}}$$
- (Protocollo B)$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$: - $$P(A=i|B>0) = \frac{P(A=i\cap B>0)}{P(B>0)} = \frac{{{4}\choose{i}}{{48}\choose{26-i}}\bigg{/}{{52}\choose{26}}}{\bigg{[}{{52}\choose{26}}-{{4}\choose{0}}{{48}\choose{26}}\bigg{]}\bigg{/}{{52}\choose{26}}}$$
La mia domanda è: (fuori dai protocolli A e B) quale metodo è quello corretto? e perché?
Il protocollo A è già stato utilizzato qui per rispondere correttamente a questa domanda. Quindi, il protocollo A è ovviamente corretto. Quindi, immagino che la mia domanda sia: perché il protocollo B non è corretto?
Risposte
Ho difficoltà a leggere il tuo "protocollo B" o la risposta di quasi e capire dove stai ottenendo i tuoi numeri o quali eventi pensi di utilizzare. Per risolvere questo problema, seguirò una derivazione simile di seguito spiegando i miei pensieri per organizzarmi e condividerlo con te dopo che è stato fatto. Si spera quindi di poter vedere cosa è andato storto.
Stiamo pescando una carta dal primo tempo, visto che è un asso, e poi lo piazziamo nel secondo tempo. Quindi mescoliamo la seconda metà e pesciamo di nuovo e chiediamo qual è la probabilità che la prossima carta pescata sia un asso.
Definiamo alcuni eventi. $X$ è l'evento in cui abbiamo pescato un asso dal primo mazzo. $Y$ è l'evento in cui abbiamo pescato un asso dal secondo mazzo. $A_i$ è l'evento con cui abbiamo iniziato $i$ assi nel primo mazzo (rendendolo così $4-i+1$ assi nel secondo mazzo dopo lo scambio).
$\Pr(Y\mid X) = \dfrac{\Pr(Y\cap X)}{\Pr(X)}=\dfrac{\Pr(Y\cap X \cap (A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4))}{\Pr(X)}$
$=\dfrac{\Pr(Y\cap X\cap A_1) + \Pr(Y\cap X\cap A_2)+\dots + \Pr(Y\cap X\cap A_4)}{\Pr(X)}$
$=\dfrac{\Pr(Y\mid X\cap A_1)\Pr(X\mid A_1)\Pr(A_1) + \dots + \Pr(Y\mid X\cap A_4)\Pr(X\mid A_4)\Pr(A_4)}{\Pr(X)}$
$\dfrac{\frac{4}{27}\cdot \frac{1}{26}\cdot \binom{4}{1}\binom{48}{25}/\binom{52}{26} + \dots + \frac{1}{27}\cdot \frac{4}{26}\cdot \binom{4}{4}\binom{48}{22}/\binom{52}{26}}{\frac{4}{52}}$
$=\frac{43}{459}\approx 0.09368\dots$
Esaminando parti di questo calcolo in maggiore dettaglio, qui lo usiamo $A_0,A_1,\dots,A_4$ divide lo spazio campione in eventi disgiunti e altro $A_0\cap X=\emptyset$quindi può essere ignorato. Quindi usiamo la legge della probabilità totale per suddividere il numeratore in probabilità separate. Quindi usiamo la regola del prodotto per suddividere ulteriormente ciascuno di questi.
Ora, per quanto riguarda $\Pr(Y\mid X\cap A_k)$ noi abbiamo $4-k+1$ assi fuori $27$ carte nel secondo mazzo al momento di pescare dal secondo mazzo, quindi la probabilità qui è $\frac{4-k+1}{27}$. $\Pr(X\mid A_k)$ stiamo disegnando uno di $k$ assi dal primo mezzo mazzo con $26$ carte in esso, e $\Pr(A_k)$ è una semplice probabilità ipergeometrica $\binom{4}{k}\binom{48}{26-k}/\binom{52}{26}$. Nei post correlati ci sono affermazioni sull'utilizzo di$\binom{52}{26} - \binom{48}{26}$ come denominatore, ma qui stiamo guardando puramente $\Pr(A_k)$e non sono condizionati dal fatto che a questo punto sia disponibile un asso per disegnare. In alternativa, avremmo potuto anche avere$\Pr(X\mid A_0)\Pr(A_0)$ che appare nei calcoli ma questo sarebbe stato uguale a zero.
Quanto a cosa è andato storto nel tuo calcolo? Esaminandolo, vedo ora che ti stavi condizionando non per aver selezionato con successo un asso nel primo mazzo, ma piuttosto ti stavi condizionando sul fatto che fosse possibile selezionare un asso nel primo mazzo indipendentemente dal fatto che uno degli assi a disposizione selezionare è capitato che fosse la prima carta del mazzo.
Non una risposta alla tua domanda ma un'alternativa che potrebbe interessarti.
L'asso pescato nel primo tempo ha probabilità $\frac1{27}$ per diventare l'ultima carta pescata.
Tutte le altre carte hanno la stessa probabilità di diventare l'ultima carta pescata, quindi se $p$ denota questa probabilità quindi:$$51p+\frac1{27}=1$$Ciò chiarisce che:$$p=\frac1{51}\frac{26}{27}$$
Tre di queste carte sono assi, quindi la probabilità che l'ultima carta pescata sia un asso è uguale a:$$\frac1{27}+3p=\frac1{27}+\frac3{51}\frac{26}{27}=\frac{43}{459}$$