Quando è $an+b$ una piazza?

Question

Scegli due numeri interi $a$ e $b$e costruire la progressione aritmetica $an+b$. La mia domanda è: quando questo contiene infinitamente molti quadrati? E quali termini in quella sequenza sono i quadrati (cioè, per i quali$n$)?

Per esempio:

• $2n+3$ è un quadrato infinitamente spesso (impostando $n=2m^2+2m-1$ per $m\in\bf Z$),

• Allo stesso modo $5n+1$ è un quadrato quando $n=0,3,7,16,\dots$. Questa volta la formula per cui$n$ prendere non è così semplice, lo è $n=\frac{1}{8} \left(10 m^2+2 \left((-1)^m-5\right) m+(-1)^{m+1}+1\right)$.

• $9n+4$ è un quadrato ogni volta $n=9m^2+4m$, ma

• $9n+5$ non è mai un quadrato

• $8n+1$ è un quadrato quando $n$ è triangolare

Qualcuno può indicarmi uno studio generale di questo problema diofantino, $k^2=an+b$?

Answer 1

In generale, dicendo che ce ne sono infinitamente tanti $an + b$ essere quadrato è come dirlo $b$ è un residuo quadratico mod $a$. Perchè se$b$ è un residuo quadratico mod $a$, lì esiste $c$ tale che $c^2 \equiv b \pmod{a}$. Nota che tutti i numeri sotto forma di$c + ka$ hanno le loro piazze nella forma di $an + b$.

Per determinare se un numero $b$ è un residuo quadratico mod $a$, ci sono modi per calcolarlo ( simbolo Jacobi con l'aiuto della reciprocità quadratica ).