Quando una forma contorta proveniente da un torso è banale?
Considera un fascio di gruppi$G$, dotato di busto sinistro$P$e un'altra azione a sinistra$G$su alcuni$X$. Forma il prodotto contrattato$P \times^G X := (P \times X)/\sim$dove$\sim$è il quoziente antidiagonale:$(g.p, x)\sim (p, g.x)$.
Q1: Quando è$P\times^G X$banale? Cioè, quando abbiamo un isomorfismo$P \times^G X \simeq X$?
Risposta parziale:$P \times^G X \simeq X$terminato$[X/G]$se$P \times [X/G]$è un banale torsore sul quoziente dello stack$[X/G]$.
Prova: possiamo riscrivere$P \times^G X$come prodotto contratto di due torsori $(P \times [X/G])\times^G_{[X/G]} X$. Quindi contraiamo con ``$X^{-1}$'' -- l'inverso di contrattare con$X$come un capostipite$[X/G]$e noi vinciamo. (come in Punti razionali sulle varietà di B. Poonen, sezione 5.12.5.3)
Mi è permesso farlo? Questo argomento probabilmente non dovrebbe fare appello agli stack algebrici e potrebbe essere alquanto dubbioso.
Q2: Se ho un isomorfismo$P \times^G X \simeq X$, posso sceglierne un altro che si trova sopra$[X/G]$? O almeno lo è$G$-equivalente?
Q3: C'è un modo naturale per scrivere la banalità di una forma così contorta?
Ho pensato per la prima volta$P \times^G X \simeq X$se$P$era banale, il che è chiaramente falso per azioni banali$X$. Poi ero entusiasta di avere il ritiro$* \to BG$rappresentano la banalità della forma contorta $P \times^G X$così come il busto$P$. C'è un rappresentante naturale del fascio di isomorfismi in mezzo$P \times^G X$e$X$?
Questi possono essere tutti covoni, anche se a me interessa principalmente$G = GL_n, PGL_n, SL_n$, ecc. agendo$X = \mathbb{A}^n, \mathbb{P}^n$a seconda dei casi. Più ambizioso è$G = \text{Aut}(X)$anche per semplice$X$. Sarei felice di risposte a qualsiasi livello di generalità.
Dichiarazione di Due Diligence: sono un novizio nel campo delle "forme contorte" di varietà, quindi mi scuso se quanto sopra è evidente o ottuso. Ho controllato tutte le "domande simili" elencate qui e non sono riuscito a trovare una risposta.
Risposte
Questo lemma potrebbe valere in un contesto topos-teorico più generale, ma per "sicurezza" lo formulerò in un contesto più ristretto.
Lemma : Let$G$essere uno schema di gruppo con un'azione$\rho: G \times X \to X$corrispondente ad un morfismo$\varphi: G \to \mathrm{Aut}(X)$. Assumere$G, \mathrm{Aut}(X)$sono lisci su un campo$k$, permettere$S$essere un$k$-schema e lascia$P$essere un$G$-torsore acceso$S$. Quindi$P \times^G X \simeq X \times S$se e solo se c'è un morfismo$\sigma: S \to \mathrm{Aut}(X)/G$tale che$P$è il torso delle mappe$\tilde{\sigma}: S \to \mathrm{Aut}(X)$insieme a$\tilde{\sigma} = \sigma \,\mathrm{mod} \, G$.
Richiedo che i gruppi siano lisci solo in modo che gli stack di classificazione siano algebrici. Piuttosto che cercare di formulare e dimostrare con precisione un tale lemma qui, elencherò 2 modi per pensarci:
Morfismo della versione delle pile di classificazione : La mappa$\varphi: G\to \mathrm{Aut}(X)$induce un morfismo$B\varphi: BG \to B\mathrm{Aut}(X)$, e si può verificare che la fibra di$B\varphi$sulla mappa$\gamma: S \to B\mathrm{Aut}(X)$classificare$X$è$S \times \mathrm{Aut}(X)/G$.
Versione esatta della sequenza dei gruppi di coomologia : Almeno quando$G$e$\mathrm{Aut}(X)$sono abeliani, ci sarà una sequenza esatta$$\cdots \to H^0(S,\mathrm{Aut}(X)/G) \to H^1(S, G) \to H^1(S, \mathrm{Aut}(X)) \to \cdots $$In generale potrebbe esserci una sequenza esatta simile ("di insiemi"), ma non sono abbastanza sicuro dei gruppi di coomologia non abeliani per affermarlo.