Relazione tra simmetrie e operatori quantistici di quantità classiche?
L'ho notato l'altro giorno. Non so veramente "cosa" significhi, mi piacerebbe capire.
- L'operatore energetico è $\hat E = -i \hbar \frac{\partial}{\partial t}$. La conservazione dell'energia è una conseguenza della simmetria temporale.
- L'operatore momentum è $i \hbar \frac{\partial}{\partial x}$. La conservazione della quantità di moto è una conseguenza della simmetria spaziale.
- L'operatore del momento angolare è $-i \hbar (r \times \nabla)$. La conservazione del momento angolare è una conseguenza della simmetria rotazionale, che "si sente correlata" all'arricciatura:$r \times \nabla$.
È la "forma generale" di qualsiasi operatore quantistico di una data quantità classica $Q$, la cui legge di conservazione è data da una simmetria in qualche 'direzione'$d$ sarà proporzionale a $\hat Q \equiv i \hbar \frac{\partial}{\partial d}$?
In caso contrario, perché gli operatori di energia e quantità di moto hanno le loro simmetrie nella derivata? c'è una ragione?
Risposte
C'è molta verità dietro le osservazioni di OP, che sono supportate dai seguenti fatti:
Una simmetria infinitesimale $\delta$ con parametro di simmetria $\epsilon$è generato da una carica Noether$\hat{Q}$ nel senso che $\delta=\epsilon [\hat{Q},\cdot]$, cfr. ad esempio questo post di Phys.SE.
Il parametro di simmetria $\epsilon$ spesso può essere associato a una variabile / coordinata $q$ di teoria.
Se $[\hat{Q},q]\propto {\bf 1}$ è proporzionale all'operatore di identità possiamo andare alla corrispondente rappresentazione di Schroedinger $\hat{Q}\propto\frac{\partial}{\partial q}$ in $q$-spazio.