Storia della risultante di Sylvester?

Question

Supponiamo di avere due polinomi che si dividono: $$\begin{align*} f(x)=\sum_{k=0}^d a_{d-k}x^k&=\prod_{i=1}^d (x-\lambda_i),\\ g(x)=\sum_{k=0}^e b_{e-k}x^k&=\prod_{j=1}^e (x-\mu_j).\\ \end{align*}$$Quindi il seguente risultato viene spesso attribuito a James Joseph Sylvester :$$ \det\begin{pmatrix} a_0 & a_1 & \cdots & a_d && \\ & \ddots &\ddots &&\ddots & \\ && a_0 & a_1 & \cdots & a_d \\ b_0 & b_1 & \cdots & b_e && \\ & \ddots & \ddots && \ddots & \\ && b_0 & b_1 & \cdots & b_e \end{pmatrix} = \prod_{i,j} (\lambda_i-\mu_j). $$

Qualcuno può aiutarmi a rintracciare il riferimento originale?

Answer 1

La risultante della matrice Sylvester è apparsa per la prima volta in JJ Sylvester, Philos. Rivista 16 , 132–135 (1840): un metodo per determinare mediante semplice ispezione le derivate da due equazioni di qualsiasi grado .

L'ultima riga è la risultante delle due equazioni in alto, che svanisce quando due radici coincidono.
_{Mi piace la frase "dovrebbe, ed è" ...}

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La matrice Sylvester apparve anche in una pubblicazione del 1840 di Cauchy, che riconobbe la priorità di Sylvester:

_{1876 ​​ristampa dell'articolo di Cauchy del 1840 "Mémoire sur l'élimination d'une variable entre deux équations algébriques".}

Il nome "risultante" ha origine da

E. Bézout (1764): Recherches sur le degré des équations résultantes de l'évanouissement des inconnues et sur les moyens qu'on doit datore di lavoro pour trouver ces équations.
_{Ricerca sul grado di equazioni risultante dalla scomparsa delle incognite e sui metodi da utilizzare per ottenere queste equazioni.}