Supremum di $\sin(x) + \sin(\varphi x)$

Question

Permettere $\varphi$essere la sezione aurea. Qual è il supremum di$f(x)=\sin(x) + \sin(\varphi x)$?

La mia idea era che possiamo considerare la sequenza di funzioni $f_n(x) = \sin(x) + \sin(\frac{F_{n+1}}{F_n} x)$ per i numeri di Fibonacci $F_n$, che converge a $f(x)$. La sequenza$\{x_n\}_{n \geq 1}=F_n \pi + a_n$ soddisfa $f_n(x_n) = \sin(a_n) + \sin(F_n a_n)$, in modo che se scegliamo il file corretto $a_n$, poi $f_n(x_n) =2$ $\forall n$; che cambia il problema in uno con un numero intero invece di$\varphi$, ma non sono sicuro di dove procedere da qui.

Answer 1

Chiaramente il massimo è delimitato sopra da $2$, come ciascuno $\sin$ ha un massimo di $1$.

Ottieni il massimo per la prima funzione quando $\sin x = 1$ o $x = 2 \pi k_1 + \pi/2$ per un numero intero $k_1$, e allo stesso modo quando $\sin (\phi x) = 1$ o $\phi x = 2 \pi k_2 + \pi/2$. Una piccola manipolazione dà:

$$k_1 = \frac{k_2}{\phi} - \frac{\phi - 1}{4 \phi}$$

Perché $\phi$ non è razionale, non si può risolvere esattamente questa equazione per $k_1$ e $k_2$. Tuttavia, puoi approssimarlo arbitrariamente da vicino scegliendo$k_2$ estremamente grande (ad es. $10^{1000}$) e risolvendo per $k_1$. In questo modo puoi avvicinarti il ​​più possibile a$f(x) = 2$ come desidera.