Teorema Cramer-Wold.

Question

Teorema (dispositivo Cramer-Wold): La distribuzione di un casuale$n$-vettore$X$è completamente determinato dall'insieme di tutte le distribuzioni unidimensionali di combinazioni lineari$t^TX$, dove$t$intervalli su tutti fissi$n$-vettori. $$$$ Prova. $Y := t^TX$ ha una funzione caratteristica: $$\phi_Y(s) := E[e^{isY}] = E[e^{ist^TX}]$$ Se conosciamo la distribuzione di ogni $ Y$ , sappiamo che è CF $\phi_Y(s)$ . In particolare, prendendo $s = 1$ , sappiamo $E[e^{ist^TX}]$ . Ma questo è il CF di $X = (X_1,\ldots,X_n)^T$ valutato a $t = (t_1,\ldots,t_n)^T$ . Ma questo determina la distribuzione di $X.$

Le mie domande:

1. Se $s = 1$ allora la dimostrazione perde generalità? Perchè no?
2. La mia interpretazione della dimostrazione è che se la combinazione lineare del vettore e del vettore hanno la stessa funzione caratteristica, la loro distribuzione è la stessa. È corretta questa interpretazione? 3)Cosa significa 'completamente determinato' nel teorema?

Answer 1

• Non capisco cosa intendi per "perdere generalità" nella tua prima domanda. L'unica "generalità" nella dimostrazione che mi sembra di qualche importanza è che deve funzionare per chiunque$\ n$-vettore e per qualsiasi$\ n\ $, cosa che fa. Mettendo$\ s=1\ $è solo un passo nella prova, un passo che puoi legittimamente compiere indipendentemente da quali siano i valori$\ n\ $e$\ X\ $sono, quindi non impone loro alcuna restrizione.

• Un vettore non è la stessa cosa di una combinazione lineare delle sue voci (a meno che il vettore,$\ X\ $è$1$-dimensionale e la combinazione lineare è$\ 1\cdot X\ $), che deve essere uno scalare. Quindi né la distribuzione né la funzione caratteristica di un vettore casuale possono essere le stesse di una combinazione lineare delle voci di quel vettore casuale. La distribuzione di un casuale$\ n$-vettore così come la sua funzione caratteristica saranno funzioni di$\ n\ $variabili, mentre sia la distribuzione che la funzione caratteristica di ogni particolare combinazione lineare degli elementi del vettore casuale saranno funzioni di una sola variabile.

  Il punto chiave nel dispositivo Cramer-Wold è che ti viene richiesto di conoscere la distribuzione unidimensionale non solo di una particolare combinazione lineare delle voci del vettore casuale, ma di ogni combinazione lineare di questo tipo, e questo ti consente di dedurre il casuale distribuzione del vettore, una funzione di molte variabili, da quella famiglia infinita di funzioni di una singola variabile.