Trova i limiti di 2 sequenze
Ho 2 sequenze di cui devo trovare il limite. Ma non sono sicuro di averlo dimostrato abbastanza corretto o se c'è un modo migliore per farlo.
(un) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}$
(b) $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n}$ , per $a,b \gt 0$
Quindi per (a) ce l'ho da allora $(-1)^n$è delimitato, è irrilevante per i grandi n. Inoltre, (non conosco il termine corretto per questo) da allora$n^2$ è dominante rispetto a $n$, per molto grande $n$, il limite è fondamentalmente $\lim_{n\to \infty}$ $\frac{n^2}{5n^2}$ $= 1/5$.
Non so come scriverlo correttamente poiché sembra abbastanza informale e non provato.
per (b) non sono abbastanza sicuro. Per prima cosa ho provato a scomporre qualcosa, ma non sono andato molto lontano. Ora ho usato$c$ $=$ $a^n+2b^n$. Questo risulta in$\frac{c}{3c-b^n}$. Ma è lì che sono bloccato. Come procedo da questo?
Risposte
Per il primo da formalizzare, usa quello
$$\frac{n^2+(-1)^n}{5n^2+3n+1}=\frac{1+\frac{(-1)^n}{n^2}}{5+\frac3n+\frac1{n^2}}$$
per il secondo abbiamo
$$\frac{a^n+2b^n}{3a^n+5b^n} =\frac{\left(\frac ab\right)^n+2}{3\left(\frac ab\right)^n+5}$$
quindi considera i casi $a>b$, $a=b$ e $a<b$.
Suggerimento: per giustificare la tua risposta per a) dividi tutti i termini per $n^{2}$ e prendi il limite.
Se $a>b$ dividere tutti i termini per $a^{n}$. Vedi che il limite è$\frac 1 3$ (da $(\frac b a)^{n} \to 0$). Se$a<b$ dividi per $b^{n}$ per vedere che il limite è $\frac 2 5$. Se$a=b$ allora il limite è $\frac {1+2} {3+5}$.