Un set è un concetto?
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Poiché gli insiemi hanno una definizione sia intenzionale che estensionale, il mio pensiero è sì, sono concetti. Ma forse c'è una ragione tecnica per cui gli insiemi non sono concetti?
Risposte
Risposta breve
Secondo la voce "Concetti" dalla Stanford Encyclopedia of Philosophy :
I concetti sono gli elementi costitutivi dei pensieri. Di conseguenza, sono cruciali per processi psicologici come la categorizzazione, l'inferenza, la memoria, l'apprendimento e il processo decisionale. Questo è relativamente poco controverso. Ma la natura dei concetti - il tipo di cose che i concetti sono - ei vincoli che governano una teoria dei concetti sono stati oggetto di molti dibattiti ...
Quindi, Conifold ti chiede quale sia la tua definizione di "concetto", perché ci sono letture molto diverse da vari filosofi e linguisti. Nella maggior parte delle letture standard, un "insieme" è un concetto di base, ma i concetti tendono a presentarsi in due forme, una intuitiva o ingenua e l'altra formale , rigorosa e solitamente assiomatica. Così, mentre oggi la parola "insieme" è generalmente un concetto rigorosamente definito, altre parole nel linguaggio naturale come "raccolta" possono essere usate per riferirsi al concetto intuitivo per evitare confusione con la nozione intuitiva. Ad esempio, entrambi i sistemi assiomatici ZF e NBG definiscono "set" come un tipo di raccolta e lo fanno in modo diverso.
Risposta lunga
Quello con cui sembra che tu stia lottando in questo e nel post precedente è cosa siano esattamente un set e un concetto e come si relazionano. Quindi rimpolpiamo alcune idee di base. In primo luogo, si ha una nozione intuitiva di "raccolta", qualcosa che è solo una raccolta di cose. Nella filosofia moderna, lo studio della presunzione metafisica delle "collezioni" è chiamato mereologia . Quando filosofi come Frege, Cantor, Dedekind e Peano iniziarono a esaminare i fondamenti della matematica , si resero conto che qualcosa come l'aritmetica era intuitiva e non rigorosamente definita. Da qui la necessità di creare ed esaminare assiomi logici dell'aritmetica . La domanda su cosa fosse una `` collezione '' è stata scossa dalla scoperta di Russell del suo famigerato paradosso , che nella notazione di set builder è una proposizione abbastanza semplice:
R: = {x: x∉x} -> (x∈x <-> x∉x)
Il che fondamentalmente dice che un insieme che è un membro di se stesso non deve essere un membro di se stesso, quindi paradosso.
Quindi, immediatamente, le ingenue presunzioni della teoria degli insiemi dovevano essere esplorate e ciò finì per innescare due strategie che sono note come ZF e NBG nel linguaggio moderno. Una volta iniziato questo processo, la definizione di "insieme" è passata dall'essere intuitivamente una "raccolta" (qualunque cosa ciò significhi) ad avere definizioni rigorose di "insieme" e "classe". Dal Topoi di Goldblatt :
[NBG ha una potente distinzione concettuale tra insiemi e classi . Tutte le entità a cui si fa riferimento in NBG sono pensate come classi, che corrispondono alla nostra nozione intuitiva di raccolte di oggetti. La parola "insieme" è riservata a quelle classi che sono esse stesse membri di altre classi. (p.10)
e:
[In ZF ... t] qui c'è solo un tipo di entità, l'insieme. Tutti i set sono costituiti da alcuni semplici (infatti si può iniziare con Ø) ... (p.11)
Quindi, hai due problemi in gioco, uno è l'idea di prendere una parola che esprime un concetto intuitivo, cioè SET_nl (set, linguaggio naturale) e quindi usa quell'idea intuitiva con vincoli per formare un concetto formale solitamente definito dalla necessità e sufficienza , cioè SET_zf (Zermelo-Fraenkel) e SET_nbg (von Neumann-Bernays-Goedel). Questa è una caratteristica comune nel linguaggio quando il linguaggio comune viene trasformato in linguaggio tecnico usando una qualche forma di logica formale come l'adesione alle leggi del pensiero .
Oh, e l'intenzione e l'estensione nella teoria degli insiemi sono belle e semplici. la definizione estensionale sta semplicemente enumerando i membri, cioè D: = {cat, 2, upwards, 'truth'}, dove la definizione intensionale specifica le proprietà ed è indicata come notazione set-builder . Sia le definizioni intensionali che estensive sono metodi formali, mentre la teoria dei prototipi in linguistica pretende di affrontare la definizione intuitiva. Nella filosofia del linguaggio, c'è una divisione tra coloro che sostengono la semantica condizionata alla verità basata sulla semantica lessicale e le letture più ampie della semantica, come la semantica cognitiva , che sono orientate alla pragmatica .
Quindi, per rivedere, i concetti sono disponibili in due grandi gusti, quelli dei linguaggi naturali e quelli formali, e gli insiemi possono riferirsi alla nozione intuitiva di una collezione o essere rigorosamente definiti da un sistema formalizzato . Una volta che ti sei concentrato su queste due dicotomie, il modo in cui il cervello costruisce le categorie matematiche dovrebbe diventare un po 'più chiaro.