Un sottospazio il cui complemento ortogonale è {0}

Question

Permettere $L$ essere un insieme di tutte le sequenze limitate di $\mathbb{R}$. Allora è facile dimostrarlo$L$è uno spazio vettoriale rispetto alla normale addizione e moltiplicazione scalare. Definisci una funzione$L \times L$ dato da $$\langle(a_i) , (b_i)\rangle = \sum _{i = 1}^{\infty} {\frac{a_i b_i}{i^2}}.$$

Verificare che la funzione di cui sopra sia un prodotto interno (prodotto scalare) è un calcolo di routine.

Il complemento ortogonale di un sottoinsieme $U$ di uno spazio vettoriale $L$ è $\,$ $U^* = \{\, A\in L: \, \langle A,B\rangle = 0 \, \text{and}\, \,\text{ for any} \,B\in U \,\}$.

Se lo spazio vettoriale è finito dimensionale e $\,U$ è subspazio, quindi abbiamo molte proprietà carine come $U^{**} = U \,$ e qualsiasi vettore nello spazio vettoriale può essere scritto in modo univoco come somma di vettori $U$ e $U^*$e molti altri. Qui osserviamo che se$U$ è quindi un sottospazio $U^*$ non può essere $\{ 0\}$ perché il complemento ortogonale di $\{0\}$ è lo spazio vettoriale stesso.

Qui ovviamente $L$non è uno spazio vettoriale dimensionale finito. Esiste un sottospazio proprio diverso da zero di$L$ il cui complemento ortogonale è $\{0\}$ ?

Answer 1

Permettere $M:=\{(a_n):\exists m,\ n>m\Rightarrow a_n=0\}\subset L$essere il sottospazio di sequenze finite. Poi$M^\perp=\{0\}$.

Prova: supponi $(b_n)\in M^\perp$ e considera per $m\in\mathbb{N}$, $$(a^m_n):=(1,2^2,\ldots,n^2,\ldots,m^2,0,\ldots)\in M$$

Poi $$\forall m,\quad0=\langle (a^m_n),(b_n)\rangle=b_1+b_2+\cdots+b_m$$ implicando $(b_n)=0$.