Verifica che il Borel $\sigma$-algebra accesa $\mathbb{R}$ non è atomico.

Question

Permettere $X$ essere un set e lascia $\mathcal{A} = (A_n)_{n=1}^{\infty}$ essere una sequenza di sottoinsiemi disgiunti e non vuoti la cui unione è $X$. Poi il set$\mathcal{M}$ di tutte le unioni finite o numerabili di elementi di $\mathcal{A}$ insieme a $\emptyset$ è un $\sigma$-algebra. UN$\sigma$-algebra di questa forma è chiamata atomica. Poi il Borel$\sigma$-algebra $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ sopra $\mathbb{R}$ non è atomico.

$\text{Proof.}$

Supponiamo per amor di contraddizione che $\mathcal{B}_{\mathbb{R}}$ è la raccolta di tutte le unioni finite o numerabili di insiemi in $\mathcal{A} = (A_n)_{n=1}^{\infty} $, dove il $A_i$ sono sottoinsiemi non vuoti e reciprocamente disgiunti di $\mathbb{R}$ la cui unione è $\mathbb{R}$. In particolare ne consegue che ogni set in$\mathcal{A}$ è esso stesso un set di Borel $\mathbb{R}$. Adesso molla$\mathcal{U}= \left\{\left\{p\right\}:0<p<1\right\}$. Quindi ogni singolo in$\mathcal{U}$ è un Borel-set, essendo chiuso rispetto alla topologia standard su $\mathbb{R}$. Quindi, per ciascuno$p\in (0,1)$, ne consegue che $\left\{p \right\}$ è l'unione di una sotto-raccolta finita o numerabile di $A_i$. Ma dal momento che il$A_i$ sono ciascuno non vuoto, $\left\{p\right\}$ non può essere l'unione di più di uno $A_i$, poiché altrimenti $\left\{p\right\}$avrebbe più di un elemento. Quindi, per ciascuno$p\in (0,1)$, possiamo associare in modo iniettivo un set $A_i\in\mathcal{A}$ con $\left\{p\right\} = A_i$. Ma questo è assurdo perché$\mathcal{U}$ è innumerevole e $\mathcal{A}$ è numerabile.

Apprezzerei se qualcuno qui potesse verificare l'accuratezza della prova di cui sopra. Grazie.

Answer 1

L'idea della tua dimostrazione va bene, ma penso che potrebbe essere riorganizzata per essere un po 'più semplice.

Supponiamo che questo $\mathcal{A}$esisteva. Considera due casi: o ogni$A_i$ è un singleton, o alcuni $A_i$contiene almeno due punti. Il primo caso è impossibile da allora$\mathbb{R}$è innumerevole. Nel secondo caso, se$A_i$ contiene due punti $x,y$, poi $\{x\}$ è un set Borel che, come hai sostenuto, non può essere scritto come un'unione di elementi di $\mathcal{A}$.