X è connesso e connesso localmente

Question

Permettere $X$ essere un $T_1$spazio topologico. Dimostralo$X$ è connesso e connesso localmente se e solo se per ogni coperchio aperto $\{U_s\}_{s\in S}$ e qualsiasi $x, y \in X$, esiste $s_1,. . . , s_n \in S$ e $V_1,. . . , V_n$ connesso aperto a $X$ tale che $x \in V_1$, $y \in V_n$, $V_i \subset U_{s_i}$ per tutti $i \in \{1,. . . , n\}$ e $V_i \cap V_j \neq \emptyset$ se e solo se, $| i - j | \leq 1$.

La mia idea: supponiamo per ogni copertina aperta $\{U_s\}_{\{s\in S\}}$ e qualsiasi $x, y \in X$, esiste $s_1,. . . , s_n \in S$ e $V_1,. . . , V_n$ connesso aperto a $X$ tale che $x \in V_1$, $y \in V_n$, $V_i \subset U_{s_i}$ per tutti $i \in \{1,. . . , n\}$ e $V_i \cap V_j \neq \emptyset$ se e solo se, $| i - j | \leq 1$ e vediamo quello $ X $ è connesso e connesso localmente

1. Collegato. Supponiamo$X$è disconnesso; questo è,$X = U_1 \cap U_2$, dove $U_1 \cap U_2 = \emptyset$, $U_1$, $U_2$aperto non vuoto. Notare che$\mathcal{U}= \{U_1, U_2\}$ è una copertina aperta di $X$. Consente$x \in U_1$ e $y \in U_2$, per ipotesi ci sono $s_1,s_2 \in \{1,2\}$ e $V_1, V_2$ connesso aperto a $X$ tale che $x \in V_1$, $y \in V_2$, $V_i \subset U_{s_i}$ per tutti $i \in \{1, 2\}$, poiché U e V sono disgiunti, lo contraddice $V_1 \cap V_2 \neq \emptyset$. perciò$ X $ è connesso.
2. connesso localmente. Permettere$x \in X$, e $U$ un aperto di $ X $ tale che $x \in U \subset X$, permettere $V$ essere un quartiere chiuso di $x$ in $X$ tale che $V \subset U$ considera la copertura $\mathcal=\{U, X \setminus V\}$. permettere$x \in U$, $y \in X \setminus U$ per ipotesi ci sono $V_1$ aperto connesso in modo tale $x \in V_1 \subset U$. Non sono sicuro che quest'ultimo argomento sia corretto.

L'altra implicazione sono bloccato, un po 'di aiuto per favore

Answer 1

La tua domanda è un duplicato di Characterization of Connected Locally Connected Sets dove puoi trovare tutte le prove. Tuttavia, volevi che le tue idee fossero controllate:

La prova di 1. è corretta.

La dimostrazione di 2. non è corretta perché non puoi essere certo che esista un vicinato chiuso $V$ di $x$ con $V \subset U$. Ma puoi prendere$X \setminus \{x\}$ invece del tuo $X \setminus V$e non dovresti richiedere $y \in X \setminus \{x\}$perché quest'ultimo set potrebbe essere vuoto. Prendi qualsiasi$y \in X$, se vuoi $y = x$. Inoltre,$V_1 \subset U$ ha bisogno di un argomento, dalla definizione sappiamo solo quello $V_1 \subset U$ o $V_1 \subset X \setminus \{x\}$. Ora nota che la seconda inclusione è impossibile.