しましょう $f:[a, b]\rightarrow\mathbb{R}$差別化できる。場合 $f'(a)=f'(b)$、次に存在します $c \in (a, b)$、 そのような $f'(c) = \frac{f(c) - f(a)}{c - a}$

Question

本（CursodeAnálise、第1巻、Elon Lages）には、大いに役立つ提案があります。

まず、それを考慮してください $$f'(a) =f'(b)=0$$ 次に、関数を検討します $g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$、 どこ $g(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ そして $g(a) = 0$。それを示す$g$ ポイントで最大または最小に達する $c \in (a,b)$。一般的なケースでは、$$g(x) = f(x) - xf'(a)$$

最初のケースの理由がわかります。gの導関数をとると、次のようになります。

$$g'(x) = \frac{1}{x - a} \left( f'(x) - \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \right)$$

したがって、ワイエルシュトラスの定理によって、コンパクトなセットで（微分可能な仮説から）連続であると、次のようになります。 $g$ 最大/最小をオンにする必要があります $c \in [a,b]$。重要なポイントになることによって、私たちは持っている必要があります$g'(c) = 0$、および仮定 $c \neq a$、最初の結論があります。

しかし、（1）なぜそれが内部のポイントでなければならないのかわかりません（真剣に、私はこの質問に4日間取り組んできました）、そして（2）2番目の提案は私にはそれほど明確ではありません。

解決策に関する他のアイデアは、私にとって大きな助けになります。

Answer 1

最初の部分にはいくつかのステップがあり、ここにいくつかのヒントがあります。

場合 $g$ に極小値または極大値がありません $(a,b)$ その後 $g$必然的に厳密に単調です。これは、$f$ 凹面または凸面（どちらかによって異なります） $g$増加または減少しています）。したがって、$f'$単調です。事実$f'(a)=f'(b)=0$ を示す $f'\equiv 0$ そして $f$は定数です。だから任意$c \in (a,b)$ 十分です。

2番目の部分は簡単です。最初の部分をに適用するだけです$g(x)=f(x)-xf'(a)$。以来$g'(a)=g'(b)=0$これは可能です）。方程式を単純化する$g'(c)=\frac {g(c)-g(a)} {c-a}$ 証明を終了します。