a에 대한 Iff 조건 $C^1$-가지고있는 diffeomorphism $L^1$ 또는 $L^\infty$ 야 코비
허락하다 $\Delta,D$ 두 개의 열린 부분 집합 $\mathbb{R}^d$, 그리고 $\varphi:\Delta \rightarrow D$ 될 $C^1$-야 코비 행렬식의 이형 $J_{\varphi}.$
증명 $\lambda_d(D)<+\infty$ 경우에만 $J_{\varphi} \in L^1(\Delta).$
증명 $J_\varphi$ 에 묶여있다 $\Delta$ 경우에만 $\exists c>0$ 모든 사람들을 위해 $\Omega \subset\Delta$, $\lambda_d(\varphi(\Omega)) \leq c\lambda_d(\Omega).$
파트 1의 결과는 다음과 같습니다. $\lambda_d(D)=\int_{\Delta}|J_{\varphi}(x)|dx.$
파트 2의 경우 $J_\varphi$ 제한되어 있습니다. $\exists c>0$ 모든 사람들을 위해 $\Omega \subset \Delta$,$$\lambda_d(\varphi(\Omega))=\int_{\Omega}|J_\varphi(x)|dx\leq c\lambda_d(\Omega).$$
그 반대를 어떻게 증명할 수 있습니까?
답변
연속 기능에 대해 상기하십시오. $f$ 포인트의 인접에 정의 $x\in\mathbb R^d$, $$ \lim_{r\to 0}\frac{1}{\lambda_d(B(x,r))}\int_{B(x,r)}f(y) \, dy = f(x). $$
연속 함수를 가정하십시오. $|J_\varphi|$무한했다. 그런 다음 각각$n\in\mathbb Z_{>0}$, 존재 $x_n\in \Delta$ 그런 $|J_\varphi(x_n)|>2n$. 따라서 충분히 작은$r_n>0$, $$\frac1{\lambda_d(B(x_n,r_n))}\int_{B(x_n,r_n)}|J_\varphi(y)| \, dy > n,$$ 즉 $$ \lambda_d(\varphi( B(x_n,r_n) )) > n \lambda_d(B(x_n,r_n)),$$ 그래서 그런 $c>0$ 존재할 수 있습니다.