알다 $\int_{-\pi}^\pi F_n(y) \, dy=1$

Question

알다 $\int_{-\pi}^\pi F_n(y)\,dy=1$,와 함께 $$F_n(y)=\frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{\sin^2 \left( \frac{(n+1)y}{2} \right)}{\sin^2(\frac{y}{2})}$$

비슷한 질문을 시도했지만 거기에서 일련의 기능을 제공했습니다. 이번에는 이것을 도와 줄 수있는 시리즈가 있는지 모르겠습니다. 나는 세리없이 그것을 시도했다 :

\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}F_n(y) \, dy &= \int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)} \frac{\sin^2\left(\frac{(n+1)y}{2}\right)}{\sin^2(\frac{y}{2})} \, dy\\ &=\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{(e^{\frac{i(n+1)y}{2}}-e^{\frac{-i(n+1)y}{2}})^2}{(e^\frac{iy}{2}-e^\frac{-iy}{2})^2} \, dy\\ &=\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{(e^{i(n+1)y}+e^{-i(n+1)y}-2)}{(e^{iy}+e^{-iy}-2)} \, dy \end{align}

그러나 이제 나는 다시 붙어 있습니다. 이것을 증명하는 더 쉬운 방법이 필요하다고 생각합니다. 누군가 나를 도울 수 있습니까?

Answer 1

당신은

$$F_n(x) = \frac{2\pi}{n+1}D_n^2(x)=\frac{1}{2\pi (n+1)}\left(\sum_{k=-n}^n e^{ikx} \right)^2= \frac{1}{2\pi (n+1)}\frac{\sin^2 \left(\frac{(n+1)x}{2}\right)}{\sin^2 \left(\frac{x}{2}\right)}.$$

전환하여 다음에서 $\int$ 과 $\sum$ 평등

$$\begin{aligned}\int_{-\pi}^{\pi}F_n(x) \ dx&= \frac{1}{2\pi (n+1)}\int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{k=-n}^n e^{ikx}\right)^2 \ dx\\ &= \frac{1}{2\pi (n+1)}\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{k=-n}^n \sum_{l=-n}^ne^{i(k+l)x}\ dx\\ &= \frac{1}{2\pi (n+1)}\sum_{k=-n}^n \sum_{l=-n}^n \int_{-\pi}^{\pi}e^{i(k+l)x}\ dx\\ &=1 \end{aligned}$$

이중 합에서와 같이 소멸되지 않는 유일한 용어는 $k=-l$ 그리고있다 $n+1$ 그러한 용어.

Answer 2

힌트 : Let$$D_n(x)= \sum_{k=-n}^n e^{ikx},$$ 그리고하자 $$F_N(x) = \sum_{n=0}^{N-1} D_n(x).$$ 증명 $$ F_N(x) = \frac{1}{N}\frac{\sin^2 (Nx/2)}{\sin^2 (x/2)}.$$

$D_n$ Dirichlet 커널로 알려져 있으며 $F_N$ Fejér Kernel이라고합니다.

Answer 3

시리즈에 의존하지 않고 통합하는 것입니다.

\begin{align} \int_{-\pi}^{\pi}F_{n}(y)dy & = \frac1{\pi(n+1)}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin^{2}\frac{(n+1)y}{2}}{\sin^{2}\frac{y}{2}}dy\\ & = \frac1{\pi(n+1)}\int_{0}^{\pi} \frac{ \cos(n+1)y-1}{\cos y-1} dy \\ & = \frac1{\pi(n+1)}\cdot \lim_{a\to 0}\int_{0}^{\pi} \frac{ \cos(n+1)y-\cos(n+1)a}{\cos y-\cos a} dy\\ & = \frac1{\pi(n+1)}\cdot \lim_{a\to 0}\frac{\pi\sin(n+1)a}{\sin a}\\ &=1 \end{align} 어디 결과 $$\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos(nx)-\cos(na)}{\cos x-\cos a}}dx = \frac{\pi \sin(na )}{\sin a}$$파라 메트릭 삼각 적분 에서 파생$\int_{0}^{\pi}{\frac{\cos(nx)-\cos(na)}{\cos x-\cos a}}dx$ 사용.