알다 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$ [복제]

Jan 25 2021

증명해야합니다 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\log(n)}{\log(n!)} = 1$$그러나 나는 나의 지혜 끝에 있습니다. 나는 웹을 샅샅이 뒤졌지만 역 = 0을 증명하는 예 / 답변 만 찾을 수 있으며 많은 방법을 사용하여 아무 소용이 없습니다 (확장 된 용어, 모든 잘못된 파생어가있는 L 'Hopitals Rule). 누구든지 올바른 방향으로 나를 가리킬 수 있습니까? 나는 완전히 갇혀 있습니다.

답변

3 BenjaminWang Jan 25 2021 at 08:52

참고 $\log n! = \sum_{k=1}^n \log k$. 관련 그래프를 그리면 다음을 볼 수 있습니다.

$$\int_1^n \log x dx \le \sum_{k=1}^n \log k $$

$$\le \int_1^{n+1} \log x dx$$

이제 적분을 계산 $\int_1^m \log x dx = m \log m - m + 1$이므로 위의 내용은

$$n \log n - n + 1 \le \log n! \le (n+1)\log(n+1)-n$$

그리고 이제 우리는 나눈 후 짜내기 정리로 결과를 얻습니다.

1 crystal_math Jan 25 2021 at 09:04

$\log(n!)\ge \frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})$ 그래서 $\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{2}\log(\frac{n}{2})}$

이 상한 한계를 평가하면 $2$ 이후 $\lim_{n\rightarrow \infty} \dfrac{\log(n)}{\log(n/2)} = 1$. 그러나 선택하면$\epsilon >1$, 당신은 볼

$\log(n!)\ge \frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})$ 그래서 $$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le \dfrac{n\log(n)}{\frac{n}{\epsilon}\log(\frac{n}{\epsilon})}\rightarrow \epsilon$$

이후 $\epsilon>1$ (임의), 당신은 결론을 내릴 수 있습니다 $$\dfrac{n\log(n)}{\log(n!)}\le 1$$

(하한을 쉽게 얻을 수 있습니다) 따라서 한계는 $1$.

1 zkutch Jan 25 2021 at 08:58

사용 $$\left( \frac{n}{e}\right)^n \lt n! \lt e \left( \frac{n}{2}\right)^n$$ 우리는 $$n \log \frac{n}{e} \lt \log n! \lt \log e+ n \log \frac{n}{2}$$

부가.

왼쪽의 경우 유도의 첫 번째 단계가 명확합니다. 그때$$(n+1)!=n!(n+1) \gt \left( \frac{n}{e}\right)^n (n+1) = \\ =\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1} \frac{(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n}{\left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}} \gt \left( \frac{n+1}{e}\right)^{n+1}$$ 때문에 $(n+1)\left( \frac{n}{e}\right)^n \left( \frac{n+1}{e}\right)^{-n-1}\gt 1$ 동등하다 $\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n} \lt e$.

오른쪽 용 $$n! \lt \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n} = e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(\frac{n+1}{2}\right)^{n}}{e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}} = \\ =e\left(\frac{n}{2}\right)^{n} \frac{\left(1+ \frac{1}{n}\right)^{n}}{e} \lt e\left(\frac{n}{2}\right)^{n}$$

UNOwen Jan 25 2021 at 09:00

$$\displaystyle \frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(x!\right)}=\frac{x\ln\left(x\right)}{\ln\left(\Gamma \left(x+1\right)\right)}$$

L' Hôpital의 규칙을 적용하면,

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{\ln \left(\Gamma \:\left(x+1\right)\right)}\right)=\lim_{x\to \:\infty \:}\left(\displaystyle \frac{\ln(x)+1}{\psi \:^{\left(0\right)}\left(x+1\right)}\right)$$

다시 적용하면

$$\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\frac{1}{x}}{\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)}\right)=\lim _{x\to \infty }\left(\frac{1}{x\left(\psi ^{\left(1\right)}\left(x+1\right)\right)}\right)$$

분모는 1에 접근합니다. $x\rightarrow \infty$.