알다 $(V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}$ 만약 $f$ 퇴화되지 않는다
허락하다 $f(\alpha, \beta)$ 에 쌍 선형 $n$-차원 선형 공간 $V$ 숫자 필드 위에 $F$. 증명, 만약$f(\alpha, \beta)$ 모든 부분 공간에 대해 퇴화되지 않습니다. $V_1$ 과 $V_2$ 의 $V$, 다음 \begin{align*} & (V_1 \cap V_2)^{\perp_L} = V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L}, \\ & (V_1 \cap V_2)^{\perp_R} = V_1^{\perp_R} + V_2^{\perp_R}. \end{align*} 모든 부분 공간이있는 곳 $W$ 의 $V$, 왼쪽 직교 그룹 $W^{\perp_L}$그리고 바로 직교 그룹 $W^{\perp_R}$ 정의된다 \begin{align*} & W^{\perp_L} = \{\alpha \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \beta \in W\}, \\ & W^{\perp_R} = \{\beta \in V: f(\alpha, \beta) = 0, \forall \alpha \in W\}. \end{align*}
정의에 따라 나는 (이 방향으로 $f$ 필요하지 않음) 그 $V_1^{\perp_L} + V_2^{\perp_L} \subseteq (V_1 \cap V_2)^{\perp_L}$. 나는 다른 방향, 특히 비 퇴행성이 어떻게$f$ 적용해야합니까?
답변
$\newcommand{\lbot}{\perp_L}$ $\newcommand{\rbot}{\perp_R}$
먼저 정의에 따라 \begin{align*} & (V_1 + V_2)^{\lbot} = V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}; \tag{1} \\ & (V_1 + V_2)^{\rbot} = V_1^{\rbot} \cap V_2^{\rbot}. \tag{2} \end{align*} 허락하다 $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$, 다음 모든 $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, 우리는 \begin{align*} & f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0, \\ & f(\alpha, \beta_1 - \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) - f(\alpha, \beta_2) = 0. \end{align*}
그 후 $f(\alpha, \beta_1) = f(\alpha, \beta_2) = 0$즉, $\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$. 반대로$\alpha \in V_1^{\lbot} \cap V_2^{\lbot}$, 다음 모든 $\beta = \beta_1 + \beta_2 \in V_1 + V_2$, 어디 $\beta_1 \in V_1, \beta_2 \in V_2$, 우리는 $$f(\alpha, \beta_1 + \beta_2) = f(\alpha, \beta_1) + f(\alpha, \beta_2) = 0 + 0 = 0,$$ 즉, $\alpha \in (V_1 + V_2)^{\lbot}$. 두 번째 평등도 비슷하게 증명 될 수 있습니다.
만약 $f(\alpha, \beta)$ 퇴화되지 않습니다. 모든 부분 공간에 대해 $W$ 의 $V$, $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. 정의에 따르면$W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$. 다른 방향을 표시하려면 다음과 같이 표시 할 수 있습니다.$f$ 모든 부분 공간에 대해 퇴화되지 않습니다. $W$, $$\dim(W^{\lbot}) = \dim(W^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W).$$
그런 다음 \begin{align*} \dim((W^{\lbot})^{\rbot}) = \dim(V) - \dim(W^{\lbot}) = \dim(V) - (\dim(V) - \dim(W)) = \dim(W). \tag{*} \end{align*} 이 평등과 $W \subset (W^{\lbot})^{\rbot}$ 그것을 암시 $W = (W^{\lbot})^{\rbot}$. 비슷하게,$W = (W^{\rbot})^{\lbot}$.
이제 $(1)$ 과 $(2)$, 우리는 \begin{align*} (V_1 \cap V_2)^{\lbot} = ((V_1^{\lbot})^{\rbot} \cap (V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = ((V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot})^{\rbot})^{\lbot} = V_1^{\lbot} + V_2^{\lbot}. \end{align*} 이것으로 증명이 완료되었습니다.
(평등 $(*)$ 지도를 구성하여 설정할 수 있습니다. $W^{\lbot}$ 첫 번째 솔루션 공간에 $\dim(W)$ 행렬의 열 $(f(\alpha_i, \alpha_j))$.)