않습니다 $\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-\alpha x}dx$ 균일하게 수렴합니까?

Question

않습니다 $$\int_{0}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} e^{-\alpha x}dx \hspace{0.1cm}, \alpha \in ]0,\infty[$$ 균일하게 수렴합니까?

은 Using 디리클레 테스트를 :

1. $\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}dx = \pi/2$
2. $e^{-\alpha x}$ 감소, 제한 및 $0$.

따라서 균일하게 수렴합니다.

이거 괜찮아? 아니면 균일하게 수렴합니까?$]k,\infty[$ 와 $k>0$ ?

Answer 1

Dirichlet 테스트 사용에 대한 힌트 :

우리는 $\int_0^c \sin x \, dx$ 모두에게 한정된 $c > 0$ 그리고 독립적 $\alpha$ 과 $\frac{e^{-\alpha x}}{x}$ 단조롭게 감소합니다 $x$및 균일 수렴 에$0$ 같이 $x \to \infty$ 모든 $\alpha \in [0,\infty)$.