반지에 대한 2 가지 질문 $\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$

Question

나는 링 이론에서이 특정 질문을 풀 수 없습니다. 이것은 내가 준비하고있는 석사 시험에서 요청되었습니다.

허락하다 $A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$ .

(a) 증명 $A$ 두 개의 필수 영역의 직접적인 곱입니다.

(b) 반지인가 $A$ 동형 $\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$?

나는 알 수있다 $X^{3}-1$ 이제 요소는 $ax^2+bx+c$, $a,b,c$ 에 속하는 $\mathbb{Q}$. 그러나 나는 정수 영역이이 고리를 만들 직접적인 제품에 대한 단서가 없습니다.

또한 두 번째로지도를 다음과 같이 정의하는 데 문제가 있습니다. $X^3$두 번째 링에서 -1로 작동합니다. 나는지도처럼 생각하지 않는다$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$ 이지도는 작동하지 않습니다 $1-1$.

그래서 누구 든지이 두 가지 문제에 어떻게 접근 해야하는지 말해 줄 수 있습니까?

Answer 1

힌트 :

(a) 반지에 대해 말하는 중국 나머지 정리 사용$A$ 그리고 이상 $\mathfrak a,\mathfrak b$ 의 $A$ 그런 $\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$, $A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$. 또한 몫의 고리$\mathbb Q[X]/(f(X))$ 정수 도메인 iff $(f(X))$ 가장 이상적인 iff $f(X)$ 축소 할 수 없습니다 (이후 $\mathbb Q[X]$ PID).

(b) 나는 주장한다 $\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$동형입니다. 모든 공리를 확인하십시오.

Answer 2

(a) Kenta S가 말했듯이 $1=(x^2-x+1)+x(x-1)$ 과 $(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, 우리는 $\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$ 그래서 $\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$중국 나머지 정리에 의해. 분명히,$x^2-x+1$ 과 $x-1$환원 할 수 없습니다. 그 후,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$ 과 $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$ 도메인입니다.

(b) 분명히, $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$. 또한,$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$ 으로 $x\to -x$. 그 후,$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$.