반지와 범주의 곱셈 시스템
경우 A는 어떤 카테고리, morphisms의 클래스입니다$S$에 것으로 알려져 곱셈 시스템 인지$(a)$ 구성에 의해 닫힙니다. $id_X$ 에 $S$ 모든 $X$에서 때마다$f$ 과 $g$A의 형태 는 구성이$gf$ 말이 되네요, 그럼 $gf$ 에 $S$; $(b)$ 양식의 모든 다이어그램 $X\overset{f}\longrightarrow Y \overset{s}\longleftarrow Z$ 와 $s$ 에 $S$ 다음과 같이 완료 할 수 있습니다. $\require{AMScd}$ \ begin {CD} W @> g >> Z \\ @VtVV @VVsV \\ X @ >> f> Y \ end {CD} with$t$ 에 $S$. 모든 화살표가 반대로 된 경우에도 동일합니다. 결국$(c)$ 한 쌍의 형태 $f,g:X\to Y$ 존재 $s$ 에 $S$ 와 $sf=sg$ 존재하는 경우에만 $t$ 에 $S$ 와 $ft=gt$.
내 질문은 :이 정의 가 모든 링에 대해 곱셈 적으로 닫힌 집합 의 개념과 일치합니까?$R$ 우리가 보면 $R$AS를 순이 하나의 객체 - 종류? 확실히 조건$(a)$ 곱셈으로 닫힌 집합 (즉, 하위 집합)에 대해 정확히 원하는 것을 제공합니다. $S\subseteq R$ 그런 $1\in S$ 과 $x,y\in S\Rightarrow xy,yx\in S$), 그리고 $R$ 교환 적입니다. $(b)$ 과 $(c)$ 명백해 지지만 비 교환 링의 경우 이러한 조건에 대한 증거를 찾을 수 없습니다.
누구든지 증거 또는 반례를 제공 할 수 있습니까? 반례가 정답이라면, 교환식 케이스에서만 작동하는 이유가 있습니까? 아니면 이러한 경우를 일반화하기 위해 설계된 곱셈 시스템의 개념일까요?
답변
예, 일치하지만 다소 사소합니다 (교환의 경우).
(교환 단위) 링을 참조하십시오. $R$다음과 같이 카테고리로. 그만큼$R$-모듈 동작 $R$ 자체적으로 형태를 유도합니다. $\iota: R \to \mathrm{Hom}_{\mathbb Z}(R,R)$이므로 하나의 객체 (즉, $R$) 형태의 집합은 $\iota(R)$. 이것이 형성된다는 사실은$\mathbf{Ab}$-카테고리는 반지 공리의 일부입니다. 정체성 형태가 존재하기 위해서는 고리가 단일성이 필요하고, 교환 성은 다른 공리를 제공합니다. 예를 들어, 당신이 주어진다면$\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R @ <s << R \ end {CD} 기본적으로 원래 링의 두 요소가 주어집니다.$R$. 다이어그램은 다음과 같이 가정하여 쉽게 완성 할 수 있습니다.$R$ 교환 적입니다. $sf = fs$ 교환 다이어그램으로 이어집니다 $\require{AMScd}$ \ begin {CD} R @> f >> R \\ @VsVV @VVsV \\ R @ >> f> R \ end {CD} 문 (c)은 다음과 같이 유사하게 증명됩니다.$t=s$. 하위 집합에서 비 교환 링을 지역화하는 방법을 모르겠습니다.$S$ 일반적으로하지만 이러한 아이디어가 의미가 있다면 현지화 $S^{-1}R$ 언제 존재할 것 $R$이러한 범주 적 공리가 충족되는 특정 사례에서는 비교 환적이지만 일반적으로는 그렇지 않습니다. 나는 비 교환 적 지역화에 대해 조금 알기 위해 이것을 읽었으며 교환 적 지역화만큼 영감을 얻지 못했습니다.
도움이 되길 바랍니다.