벡터 장에 대한 Killing 방정식을 풉니 다. $\mathbb{R}^2$ 유클리드 미터법으로

Nov 23 2020

나는 벡터 장이 $$X = a_1\partial_1 + a_2\partial_2$$ 어디 $a_1,a_2 : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$ 매끄럽고, 킬링 필드가 $\mathbb{R}^2$ 유클리드 미터법으로 $dx_1^2 + dx_2^2$.

Killing 방정식을 풀어야합니다 $$\mathcal{L}_X(dx_1^2 + dx_2^2) = 0$$ ...에 대한 $a_1$$a_2$.

나는 거짓말 도함수의 정의를 사용해야한다는 것을 알고 있으며 그것이 0과 같다는 것을 알지만 계산에 약간 어려움을 겪고 있습니다. 누군가 나를 도울 수 있습니까?

나는 Cartan의 공식을 사용하는 것에 대해 고민하고 있었는데, 좋은 접근 방식입니까?

답변

3 DIdier_ Nov 23 2020 at 17:08

허락하다 $U$,$V$$X$ 세 개의 벡터 필드이고 $g$메트릭 텐서 필드입니다. 그런 다음 \ begin {align} \ left (L_Xg \ right) (U, V) & = X \ cdot g (U, V)-g (L_XU, V)-g (U, L_XV) \\ & = g ( \ nabla_XU, V) + g (U, \ nabla_XV)-g (L_XU, V) -g (U, L_XV) \\ & = g (\ nabla_XU-L_XU, V) + g (U, \ nabla_XV-L_XV) \\ & = g (\ nabla_UX, V) + g (U, \ nabla_VX) \ end {align} 따라서,$L_Xg=0$ 모든 벡터 필드에 대해 $U$$V$, $$ g(\nabla_UX,V) + g(U,\nabla_VX) = 0 $$ 즉, $\nabla X : U \mapsto \nabla_UX$ 비대칭 연산자입니다.

경우에 $g$ 유클리드 미터법 $\mathbb{R}^2$, 모든 벡터 필드 $U$ 부드러운 조합입니다 $\partial_1$$\partial_2$, 및 $$ L_Xg = 0 \iff g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_1) = 0,~ g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_2) \text{ and } g(\nabla_{\partial_1}X,\partial_2) = -g(\partial_1,\nabla_{\partial_2}X) $$ 만약 $X = a_1\partial_1 + a_2 \partial_2$, 기억하십시오 $\partial_1$$\partial_2$ 평행하다 $g$, 및 : \ begin {align} \ nabla _ {\ partial_1} X & = \ nabla _ {\ partial_1} \ left (a_1 \ partial_1 + a_2 \ partial_2 \ right) \\ & = (\ partial_1a_1) \ partial_1 + (\ partial_1a_2 ) \ partial_2 \\ \ nabla _ {\ partial_2} X & = \ nabla _ {\ partial_2} \ left (a_1 \ partial_1 + a_2 \ partial_2 \ right) \\ & = (\ partial_2a_1) \ partial_1 + (\ partial_2a_2) \ partial_2 \ end {align} 따라서$X$\ begin {align} \ partial_1a_1 & = 0, & \ partial_2a_2 & = 0, & \ partial_1a_2 & =-\ partial_2 a_1 \ end {align} 경우에만 Killing 벡터 필드 입니다. 계산을 계속할 수 있습니다.

중요 코멘트 Cartan 마법 공식에주의하십시오. 그것은을위한 것을 말한다 차동 양식 $\omega$, $L_X \omega = (d\circ i_X + i_X\circ d)\omega$. 텐서는 일반적으로 미분 형식이 아닙니다. 이것이 말이되지 않는 간단한 이유는 다음과 같습니다.$dg$ 언제 $g$ 메트릭 텐서입니까?