벡터 필드가 접선 공간의 분리 된 결합 섹션으로 정의되는 이유는 무엇입니까? 너무 복잡하지 않나요?
접선 번들을 정의하는 것이 일반적입니다. $TM$모든 접선 공간 의 분리 된 결합으로 벡터 필드를 섹션으로 정의합니다.\begin{align} TM=\bigsqcup_{p\in M}T_pM=\bigcup_{p\in M}T_pM\times\{p\}&\to M\\ (v,p)&\mapsto p \end{align} (저는 John Lee의 책을 읽고 있습니다. 접선 벡터가 파생물로 도입되어 $T_pM\cap T_qM\neq\emptyset$.)
우리는 단순히 정의하지 않는 이유 $TM=\bigcup_{p\in M}T_pM$ 벡터 장은지도라고 $\omega\colon M\to TM$ 와 $\omega_p\in T_pM$ 모든 $p\in M$.
이 벡터 필드의 필수 속성이 아닙니다이다 : 그것은 모두에 할당하다$p\in M$ 요소 $T_pM$?
차동 형식에 대해서도 유사한 질문이 발생합니다.
질문을 명확히하기위한 시도 : 미분 형식의 관점에서 맥스웰 방정식에 대한 강연을 준비해야하고, 매니 폴드가 무엇인지, 텐서가 무엇인지 모르는 청중이 있습니다. 이 주제에 대한 집중 과정에 30 분이 있습니다. 즉, 가능한 한 많은 정보를 생략해야하지만 내가 말하는 모든 내용이 정확하기를 바랍니다. 그래서 제가 스스로에게 물었던 한 가지 질문은 다음과 같습니다. 만약 분리 된 결합과 섹션이 무엇인지 설명하지 않고 단순히 위에 내 정의를 제공하면 무언가를 놓치고 있습니까? 접선 번들을 일반 결합 대신 접선 공간의 비 연속 결합으로 정의하는 데 좋은 이유가 있습니까 (섹션 개념을 도입하려는 것 외에)? 그러나 이것은이 강연을하기 전에 이미 나 자신에게 물었던 질문입니다.
답변
여기에는 두 가지 주요 문제가 있습니다.
우선, 결합 이 분리 되지 않고 전혀 의미 가 없는 유일한 방법 은 접선 공간이 일반적으로 그렇지 않은 공통 유니버설 세트에 살고 있다고 가정하는 것입니다.
둘째, 심지어 경우에 당신이 일반적인 우주에서 접선 공간을 포함, 예를 들면 일부 유클리드 공간 내부의 매니 폴드를 포함시켜, 당신은 접선 벡터와 점 사이의 선이 뚜렷한에 살고 흐려지고 점 때문에 일반 노동 조합을 취함으로써 중요한 정보가 손실 접하는 공간이 식별 될 수 있습니다. 예를 들어, 안에 포함 된 원의 접선 번들을 고려하십시오.$\Bbb{R}^2$, 다음 그림과 같이 :
정규 조합을 사용하면 $\Bbb{R}^2$접선 번들로 빨간색으로 표시된 모든 점으로 구성됩니다. 그러나 여러 줄에있는 모든 점은 그들이 속한 접선 공간을 "잊습니다". 예를 들어, 포인트$(1,1)$ 접선 공간에 있습니다. $(1,0)$ 접선 공간도 $(0,1)$. 그러므로 당신은 정식 예측을 잃습니다$\bigcup_p T_pM \to M$다른 많은 것들 중에서 접선 번들에 매니 폴드 구조를 부여하는 데 사용됩니다. 재앙!
마지막으로, 벡터 필드를 언급하는 부분을 다루기 위해 : 이러한 객체는지도의 집합 이론적 섹션이 아니라는 점에 유의해야합니다. $\bigcup_p T_pM \to M$; 그들은 연속 또는 부드러운 부분. 그리고 이것이 이해되기 위해서는 탄젠트 번들에 토폴로지 / 부드러운 구조가 필요합니다.
가정 $M \subset \mathbb{R}^n$하위 다양체입니다. 그런 다음 탄젠트 번들을 모든 탄젠트 벡터 공간의 합집합으로 정의 할 수 있습니다.$T_pM$ ...에 $M$ 포인트에서 $p$. 문제는 여기서 "연합"으로 이해되어야하는 것입니다.
그것을 조합으로 정의한다고 가정하십시오. $\mathbb{R}^n$. 예를 들어$M = \mathbb{R} \subset \mathbb{R}$, 각 점에서 접선 공간은 $\mathbb{R}$이므로 모든 접선 부분 집합은 다음의 동일한 부분 공간과 같습니다. $\mathbb{R}$즉 $\mathbb{R}$, 그들의 노조도 마찬가지입니다.
이제 가정 $M = \mathbb{S}^1 \subset \mathbb{R}^2$. 그런 다음 벡터 라인$D$원 포인트의 접선 공간으로 볼 수 있습니다. 그래서 여기에서 일반적인 결합은$\mathbb{R}^2$ 모든 벡터 라인의 합집합이됩니다. $\mathbb{R}^2$, 즉 $\mathbb{R}^2$.
이러한 구조는 "외 재적"입니다. $M$ 뿐만 아니라 주변 공간에서도 $\mathbb{R}^n$. 예를 들어,$M \subset \mathbb{R}^n \simeq \mathbb{R}^n\times\{0\} \subset \mathbb{R}^m$, 그러면 "다른 $TM$", 관점에 따라 다릅니다 (동형이더라도).
그러나이 두 가지 예에서 합집합의 임의의 요소를 취하면 어느 지점에서 접선인지 알 수 없습니다. 당신은 많은 기하학적 감각을 잃습니다.
이것을 피하는 아이디어는 분리 된 결합, 즉 $$TM = \bigcup_{p\in M} \{p\}\times T_pM.$$이 결합 의 요소는 다음 과 같은 형식입니다.$(p,v)$ 와 $v \in T_pM$, 따라서 각 요소는 이전 예보다 더 많은 데이터를 생성합니다.
첫 번째 예에서이 구성은 $T\mathbb{R} = \bigcup_{p\in\mathbb{R}} \mathbb{R} = \mathbb{R}\times \mathbb{R}$이고 모든 탄젠트 벡터는 $(x,t)$ 어디 $t$ 접선 $x$.
원의 경우 $T\mathbb{S}^1 = \bigcup_{\theta \in \mathbb{S}^1} \{\theta\} \times T_{\theta}\mathbb{S}^1$, 등
추상 매니 폴드의 경우 "주변 공간"이 없으므로 접선 공간의 일반적인 합집합은 동일한 고정 집합의 부분 공간 합집합으로 정의 될 수 없습니다. 따라서 확장 할 수 없었기 때문에 건설이 잘못되었을 것입니다. 그러나 disjoint-union은 일반적인 다양체에 대해 정의 할 수있게합니다.$M$ 유클리드 공간에 포함되지 않은 $$T_pM = \bigcup_{p\in M}\{p\}\times T_pM,$$ 어디 $T_pM$ 본질적인 개념입니다 $M$, 차동 구조에만 의존합니다.
또한이 구조는 접선 공간에 섬유 다발의 자연스러운 구조가 있음을 보여줍니다. $TM$ (이것은 좀 더 일반적인 개념입니다)이 구조는 자동으로 부드러운 기능을 제공합니다 $\pi : TM \mapsto M$ 그것은 단지 투영입니다 $(p,v) \mapsto p$.
벡터 필드를 정의하려면 "각 지점에서 $p$ 접하는 벡터가 있습니다. $p$"그런 다음이 구성을 연속 맵으로 사용하여 엄격하게 정의 할 수 있습니다. $X : M \to TM$ 그런 $X(p) = (p,v_p)$. 이것은$X$ (연속적인) 섹션 $\pi$, 그건 $\pi\circ X = \mathrm{id}_M$. 일반적으로 벡터 필드는 매끄럽게 필요합니다.$X$ 부드럽습니다 (부드러운 부분).
편집 : 지오메트리가 비전문가와 대화를해야 할 때, 청중이 매니 폴드, 벡터 번들 등과 같이 우리가 사용하는 주요 객체에 대해 전혀 알지 못하는 동안 명확한 프레젠테이션을 제공해야 할 때 일반적인 문제입니다 . My 경험은 이것이다 : 정말로 중요한 것이 기하학적 감각이라면 지나치게 복잡한 정의를 내리는 데 시간을 낭비하지 마십시오. 매니 폴드는 표면 등의 정의를 확장 할 수있는 기하학적 개념이라고 말하면됩니다. 접선 벡터를 시각적으로 정의합니다. 탄젠트 필드가 번들에 대해 이야기하지 않고 탄젠트 벡터 필드라고 가정합니다. 코 벡터도 동일합니다. 번들의 연산자에 대해 이야기해야한다면 벡터에서 어떻게 작동하는지 이야기하십시오. 당신은 많은 시간을 얻게 될 것이고 청중은 당신이 지나치게 복잡하고 엄격한 진술을했을 때보 다 더 많은 것을 이해할 것입니다.
여기에는 상황의 특정 부분을 설명하는 많은 좋은 답변이 있습니다. 그러나 언급되지 않은 중요한 점이 하나 있습니다. Smooth Manifolds 책에서 사용하는 접선 공간의 정의에서 제로 파생은 다음의 요소입니다.$T_pM$ 모든 $p\in M$, 따라서 접선 번들의 정의에서 분리 결합을 사용하지 않으면 접선 공간이 모두 교차합니다. 이 답변 도 참조하십시오 .
이것은 단지 몇 번 쓰여진 것을 다시 쓰는 것입니다. $M\subset \Bbb R^N$, 다음 $$TM = \{(x,v): x\in M, v\in T_xM\}\subset M\times\Bbb R^N.$$당신의 우주가 있습니다. 물론 추상적 인 다양체의 경우에는 대체 할 현명한 것이 없기 때문에 이것은 의미가 없습니다.$\Bbb R^N$.
다음은 단기 집중 과정에 할당 된 시간에 맞는 설명입니다.
물리학 자들은 때때로 두 벡터가 같은 방향을 가리키고 같은 기준점을 가지고 있다면 동일하다고 말할 것입니다.
수학자들이 벡터에 채택한 추상화에는 기준점이 포함되지 않으므로 "$\times \{p\}$"는 각 벡터에 기준점으로 레이블을 지정하는 방법입니다. 그런데 컴퓨터 프로그래머도이 방법을 사용할 수도 있습니다.