범용 일반화 ( $\forall$ -나)
이 추론 규칙을 사용하면 규칙 전제에서 변수를 대체 할 용어는 임의적 이어야합니다 (임의의 d 참조).$\in$ 디).
자의적이고 자의적 이지 않은 것은 무엇입니까 ?
- $ P(a) \quad\quad Premise$
- $ \forall x P(x) \quad (1), \forall-I: a/x$
존 이라는 용어가 임의적으로 간주되지 않아 2 행이 틀렸습니까?
- $ P(john) \quad Premise$
- $ \forall x P(x) \quad (1), \forall-I: john/x$
답변
우선, 나는 당신이 이것 뒤에있는 직감을 이해하기를 바랍니다.
일부해서 특정의 객체가 어떤 속성이 분명히 있다는 것을 의미하지 않습니다 모든 도메인의 개체는 그 속성이 있습니다.
그러나 도메인의 임의의 개체에 일부 속성이 있으면 모든 개체가 있습니다.
그리고 명확하게 말하면, '임의의'객체 란 의미합니다. 우리는이 객체가 도메인의 객체라는 것 외에는이 객체에 대해 알고 있고 가정하지 않았습니다.
이제 특정 형식 시스템에서 이것이 얼마나 정확하게 형식화되는지는 많은 형식적인 세부 사항에 달려 있습니다. 일부 시스템에서는 변수가 임의의 객체를 나타내는 데 사용되지만 다른 시스템에서는 일반적으로 특정 종류의 하위 증명과 함께 '임시 상수'가 사용됩니다.
그래서 신청할 수 있는지 물어 보면 $\forall \ I$ 추론하기 $\forall x \ P(x)$ ...에서 $P(John)$, 정말 대답 할 수 없습니다. 그것은 모두 당신이 사용하는 시스템의 특성에 달려 있습니다.
그만큼 $(\forall \text I)$규칙 은 다음과 같습니다.
만약 $\Gamma \vdash \varphi[x/a]$, 다음 $\Gamma \vdash \forall x \varphi$, 해당 매개 변수 제공 $a$a는 다른 발생이 없다는 의미에서 "신선한" $\Gamma , \varphi$
단서는 규칙의 직관적 인 의미와 일치합니다. $\varphi$ 물건의 보유 $a$ 무엇이든간에 모든 개체를 보유합니다.
단서는 오류를 피하기 위해 필요합니다. 요한은 철학자이므로 모든 것이 철학자입니다.
위의 잘못된 증명에서 정확히 다음과 같은 오류를 범했습니다. $a$ [귀하의 경우 : John]은 $\Gamma$. 귀하의 경우$\Gamma = \{ P(\text {John}) \}$.
결론적으로 문제는 다음과 같습니다. $\vdash P(\text {John})$?
예 : 개별 상수가있는 산술의 1 차 언어를 고려하십시오. $0$ 과 $1$ 그리고하자 $\mathsf {PA}$1 차 Peano 공리 의 수집 .
우리는 : $\mathsf {PA} \vdash (0 \ne 1)$,
이제 적용 $(\forall \text I)$ 그것에, 사용 $0$ 같이 $\text {John}$, 우리는 다음과 같이 결론을 내립니다. $\mathsf {PA} \vdash \forall x (x \ne 1)$.
실수는 어디에 있습니까 ?