브라운 운동이 [a, -b] 채널을 벗어나는 예상 정지 시간

Question

허락하다 $W(t)$표준 브라운 운동이어야합니다. 허락하다$\tau$ 처음이다 $W(t)$ 어느 수준이든 안타 "$a$"또는 수준"$-b$". 가장 간단한 계산 방법은 무엇입니까?$\mathbb{E}[\tau]$?

나는 확률을 보여줄 수 있습니다 $W(t)$ 조회수 수준 "$a$"이전"$-b$"그 반대의 경우도 있지만 정지 시간의 예상치를 쉽게 계산할 수 없습니다. $\tau$.

확률을 보여주기 위해 $W(t)$ 안타 "$a$"이전"$b$", 나는 가정한다 $\mathbb{E[\tau]}\leq \infty$그래서 Doob의 선택적 중지 정리에 의해 $\mathbb{E}[W_{\tau}]=W(0)=0$(즉, 중지 된 프로세스는 마틴입니다). 그때:

$$ 0=\mathbb{E}[W_{\tau}]=a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) $$

정의에 따라 $\tau$, 우리는 $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+\mathbb{P}(W_{\tau}=-b)=1$, 그래서 :

$$ a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)+ (-b)\mathbb{P}(W_{\tau}=-b) = \\ = a*\mathbb{P}(W_{\tau}=a)-b(1-\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$$

해결 $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)$ 제공합니다 : $\mathbb{P}(W_{\tau}=a)=\frac{b}{a+b}$

질문 1 : 어떻게 쉽게 보여줄 수 있습니까?$\mathbb{E}[\tau]\leq \infty$, Doob의 선택적 중지 정리를 실제로 사용할 수 있는지 확인할 수 있습니까?

질문 2 : 어떻게 계산할 수 있습니까?$\mathbb{E}[\tau]$ 가장 간단한 방법으로?

Answer 1

당신은 아마도 프로세스가 $X_{t}=B_{t}^{2}-t$ 마틴입니다.

이제 고려하십시오. $n \in \mathbb{N}$, (제한된) 중지 시간 $$T_{n}=T \wedge n$$

선택적 중지 정리 적용 $T_{n}$ 그것에 주목 $B_{T_{n}} \le \max(a,b)$ 과 $T_{n} \le n$

단조 수렴 정리를 사용하여 $$E[T]=\lim_{n\rightarrow \infty}E[T_{n}]= \lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] \le \max(a^2,b^2)< \infty$$

이제 지배적 수렴을 사용하여 $$\lim_{n\rightarrow \infty} E[B_{T_{n}}^{2}] = E[B_{T}^{2}] = a^2 P(B_{T}=a) + b^2 P(B_{T}=b)$$

이미 알고 있습니다.

이것은 당신에게 준다 $E[T]$.