bijective 함수가 있습니까 $f:[0,1] \to [0,1]$ 그 그래프 $f$ 에 $\mathbb{R}^2$ 밀도가 높은 하위 집합입니다. $[0,1] \times [0,1]$?
거기에 전단 사 함수 $f:[0,1] \to [0,1]$되도록 그래프 의$f$ 에 $\mathbb{R}^2$밀도 가 높은 하위 집합입니다.$[0,1] \times [0,1]$? (제목과 정확히 동일).
같은 질문을하더라도 기능에 대한 질문은 큰 영향을받지 않는다고 생각합니다. $f:(0,1) \to [0,1]$ 또는 $f:[0,1) \to (0,1]$ 등, 반대로 $f:[0,1] \to [0,1]$, 원래 질문에있었습니다. 정말 중요한 것은 도메인과 범위가 제한되어 있고$\mathbb{R}^2$.
질문에 대한 대답은 '예'라고 생각하지만 그러한 함수를 구성하는 방법을 모르겠습니다.
첫 번째로 주목해야 할 점은 그러한 함수가 존재하는 경우 연속적이지 않아야한다는 것입니다. 그렇지 않으면 f의 그래프가 $[0,1] \times [0,1]$. 그러나 우리 함수의 그래프가 완전히 연결되지 않은 부분 집합인지는 확실하지 않습니다.$[0,1] \times [0,1]$.
nowhere 연속 함수가 연결된 그래프를 가질 수 있습니까?
나는 실제로 위의 질문에 대한 답변을 자세히 읽지 않았으며 어쨌든 여기에서 질문에 대답하는 것은 관련이 없을 수 있습니다 (그럴 수도 있지만).
내 시도 :
허락하다 $f_{ Conway_{(0,1)} }:(0,1) \to \mathbb{R} $될 콘웨이베이스-13 기능 하지만 도메인에 한정$(0,1)$. 이제 정의$f_{Conway_{(0,1)}bounded}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan(f_{ Conway_{(0,1)} }(x)) + \frac{1}{2}$ 도메인 $(0,1)$ 및 범위 $(0,1)$. 그러면 함수가 잘 정의되고 그래프가$f_{Conway_{(0,1)}bounded}:(0,1) \to (0,1)$ 밀도가 높은 하위 집합입니다. $[0,1] \times [0,1]$. 이제 함수를 쉽게 수정할 수 있습니다.$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$ 도메인을 갖도록 $[0,1]$ 및 범위 $[0,1]$, 나는 독자가 이것을 할 수 있다고 가정하고 간결성을 위해 세부 사항을 남겨 둘 것입니다. 하지만 요점은이 영역에서 두 지점이 누락되어$0$ 과 $1$, 문제가되지 않습니다.
문제는 우리의 기능이 주입 적이 지 않다는 것입니다.
그래프에서 포인트를 제거하는 것만으로는 질문에 답할 수 없습니다. $f_{Conway_{(0,1)}bounded}$, 그러면 도메인에서 많은 포인트를 제거 할 수 있으므로 도메인이있는 함수가 아닙니다. $(0,1)$. 그래서 어쩌면 영리한 일을$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$, 또는 질문에 답하기 위해 함수를 구성하는 완전히 다른 방법을 생각해내는 것이 필요합니다.
답변
간단하게 작업하겠습니다. $[0,1]\times [0,1].$ 아래의 "가산"이라는 단어는 "무한한"을 의미합니다.
기본 정리 : 쌍으로 분리 된 컬렉션이 있습니다. $\{D_n:n\in \mathbb N\}$ 하위 집합 $(0,1)$ 각각 $D_n$ 셀 수 있고 밀도가 $(0,1).$
증거 :하자 $p_1,p_2,\dots$소수입니다. 각각$n,$ 밝히다 $D_n$ 비율의 집합 $j/p_n^k,$ 어디 $k\in \mathbb N,$ $1\le j < p_n^k,$ 과 $j,p_n$비교적 소수입니다. 여기서 멈출 게요, 원하시면 질문하세요.
이제 열린 간격의 이중 인덱스 콜렉션을 정의하십시오. $$I_{mk}=(\frac{k-1}{m},\frac{k}{m}),$$ 어디 $m\in \mathbb N, 1\le k\le m.$ 이 구간을 다음과 같이 선형 적으로 정렬 할 수 있습니다. $I_{11}, I_{21},I_{22},I_{31}, I_{32},I_{33},\dots$ 이 순서대로 단순히 간격을 다음과 같이 표시합시다. $J_1,J_2,\dots.$
각각 $n,$ 세트 $D_n\cap J_n$ 셀 수있는 고밀도 하위 집합입니다. $J_n.$ 컬렉션 $\{D_n\cap J_n)\}$ 쌍으로 분리되어 있습니다.
이제 $n=1,\dots,$ 밝히다 $f:[0,1]\to [0,1]$ 정의함으로써 $f:J_n\cap D_n \to D_n$당신이 좋아하는 어떤 bijection이 될 수 있습니다. 완전한 bijection을 얻으려면$[0,1]\setminus (\cup J_n\cap D_n)$ 이다 $[0,1]$셀 수있는 세트 빼기. 그래서$[0,1]\setminus (\cup D_n).$ 따라서 이러한 세트는 다음과 같은 카디널리티를 갖습니다. $[0,1],$따라서 그들 사이에는 bijection이 있습니다. 허락하다$f$이 세트들 사이의이 bijection입니다. 지금$f$ 완전한 bijection입니다 $[0,1]$ ...에 $[0,1].$
밀도를 표시하려면 $(a,b)\times (c,d)\subset (0,1)\times (0,1).$ 그런 다음 큰 $n$ (현재 고정됨), $J_n\cap D_n\subset (a,b).$ 이후 $f(J_n\cap D_n)=D_n,$ 밀집된 부분 집합 $(0,1),$ 존재 $x\in J_n\cap D_n$ 그런 $f(x)\in (c,d).$ 그러므로 $(x,f(x))\in (a,b)\times (c,d).$ 이것은 그래프를 보여줍니다 $f$ 밀도가 높다 $[0,1]\times [0,1].$
예, 할 수있는 것은 주입 함수를 만드는 것입니다. $f:\mathbb Q \cap [0,1] \rightarrow \mathbb [0,1]$ 그 그래프가 밀집된 $[0,1] \times [0,1]$ 다음의 도메인을 확장 $f$ ...에 $\mathbb [0,1]$ 만드는 방식으로 $f$ bijection (이는 $|\mathbb R | $ 포인트 $[0,1]$ 이미 이미지에 $f$).
예 : On $\mathbb Q \cap [0,1]$ 당신은 허락 할 수 있습니다 $$f \left ( \frac{a}{b} \right ) = \frac{\pi a^2}{b} \mod 1$$
S (x, n) = (2x + 1) / (2 ^ (2n + 1))이라고합시다.
R (x, n)을 floor (x / (2 ^ n)) + (2 ^ n) (x mod 2 ^ n) (비공식적으로 x의 이진 확장의 두 절반을 바꿉니다)이되도록합니다.
x가 있다면 f (b) = S (R (x, n), n), S (x, n) = b, 그렇지 않으면 b가되도록 n (상당히 사소하게도 고유해야 함)이 있으면하자.
"이진 그리드 셀", [a * 2 ^ -n, (a + 1) * 2 ^ -n] x [b * 2 ^ -n, (b + 1) * 2 ^ -n]을 고려하십시오. (S (a * 2 ^ n + b, n), f (S (a * 2 ^ n + b, n)) = S (b * 2 ^ n + a, n))은이 그리드 셀에 있습니다.