복잡한 벡터 공간의 모든 비축 퇴성 쌍 선형 대칭 형태는 동형입니다.
복잡한 벡터 공간의 모든 비축 퇴성 쌍 선형 대칭 형태는 동형입니다. 이것은 복소수 벡터 공간에서 축퇴되지 않는 쌍 선형 대칭 형태가 주어 졌을 때, 쌍 선형 형태의 행렬 표현이 단위 행렬이되도록 벡터 공간의 기초를 선택할 수 있다는 것을 의미합니까? 누군가 이것이 이유를 설명해 줄 수 있습니까?
항목이있는 행렬이 $\mathbb{C}$선형 요소 (다중도 포함)로 분할되는 특성 방정식을 가지므로 대각화할 수 있지만 여전히 이러한 조각을 합칠 수는 없습니다. 통찰력 감사합니다!
답변
대답은 '예'입니다.
첫째, 이중 선형이 동형이라는 증거입니다. 이것이 유지된다는 것을 증명하는 것으로 충분합니다.$\Bbb C^n$.
첫째, 모든 가역적이고 복잡한 대칭 행렬은 다음과 같은 형식으로 작성 될 수 있습니다. $A = M^TM$ 복잡한 행렬의 경우 $M$. 예를 들어, 이것은 Takagi 인수 분해 의 결과로 볼 수 있습니다 .
이제 $Q$ 대칭 쌍 선형을 나타냅니다. $\Bbb C^n$, 그리고 $A$ 의미에서 매트릭스를 나타냅니다. $Q(x_1,x_2) = x_1^TAx_2$. 허락하다$Q_0$ 다음에 의해 정의 된 표준 쌍 선형을 나타냅니다. $Q_0(x_1,x_2) = x_1^Tx_2$. 우리는 쓴다$A = M^TM$ 일부 역 복소 행렬의 경우 $M$.
밝히다 $\phi:(\Bbb C^n, Q) \to (\Bbb C^n, Q_0)$ 으로 $\phi(x) = Mx$. 확인하기 쉽습니다.$\phi$ 쌍 선형 제품 공간의 등변 성이므로 두 공간이 실제로 동형입니다.
모든 것이 확립되면 우리는 기초의 변화가 $y = Mx$ 그런 $Q(x_1,x_2) = y_1^Ty_2$.