보여주는 방법 $f^{-1}(0) \subset \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$ 부드럽다

Question

허락하다 $f : \mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$매끄러운지도가됩니다. 세트의 부드러움이 궁금합니다$f^{-1}(0)$ 다음 조건에서 :

(1) 모두를 위해 $x \in \mathbb{R}^m$, $f^{-1}(0) \cap (\{x\} \times \mathbb{R}^n)$ 치수가 부드럽다 $r$(비어 있지 않은 경우). 치수는 모두 동일하게 유지됩니다.$x$.

(2) 모두를 위해 $(x, y) \in f^{-1}(0)$ 투영의 제한 $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 커널에 $df_{(x,y)}$추측입니다. 즉, 모두를 위해$u \in \mathbb{R}^m$ 존재 $v \in \mathbb{R}^n$ 그런 $df_{(x,y)}(u, v) = 0$.

왜 $f^{-1}(0)$ 부드러운 하위 다양체 $\mathbb{R}^m \times \mathbb{R}^n$? (아마도 아닐지 모르지만 어딘가에서 그 주장을 보았으므로 내가 묻는 이유입니다.)

저는 횡단 성 정리를 적용하려고하는데, 그 이후로 어떻게 $df_{(x,y)}$추측 성이 아닐 수도 있습니다. 직관적으로 (1)에 의해 비 부드러움은 가로 방향으로 만 발생할 수 있습니다.$\mathbb{R}^m \times \{y\}$ 하지만 $\ker df_{(x,y)} \to \mathbb{R}^m$ 일어날 수없는 추측입니다.

Answer 1

나에게는 잘못된 것 같습니다. 아마도 내가 뭔가를 간과하고 있으므로 이것을주의 깊게 다시 확인하십시오.

취하다 $m=n=1$ 과 $r=0$. 허락하다$f\colon\Bbb R\times\Bbb R\to\Bbb R$ ~에 의해 주어지다 $$f(x,y)=x^2-y^2.$$ $f^{-1}(0)$ 세트입니다 $|y|=|x|$, 그리고 당신이 투사 할 때 섬유 $x$-축은 $0$-차원 (원점 이외의 연결이 끊어짐). 커널$df_{(x,y)}$ 원점에서 차원을 뛰어 넘지 만, 당신의 surjectivity 기준은 더 쉽게 유지됩니다.