보여줘 $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$

Question

가정 $(X,\mathcal{A},\mu)$ 측정 공간이고 $f:X\to\mathbb{R}$측정 가능합니다. 보여줘

1. $\lambda(A)=\mu(f^{-1}(A))$ 측정 값을 정의합니다. $\sigma$-Borel 하위 집합의 대수 $\mathbb{R}$
2. 보여줘 $\int\limits_{\mathbb{R}}gd\lambda=\int\limits_{X}g\circ fd\mu$ 모든 Borel 기능에 대해 $g:\mathbb{R}\to [0,\infty]$

여기서 나는 파트 1을 증명할 수 있었다.
그러나 나는 파트 2로 어려움을 겪고있다.

나는 적분의 $g$ 단순 함수의 적분의 최미자로 정의됩니다. $\phi\leq g$.

내가 먼저 간단한 기능에 대한 결과를 증명하려고했다 그래서 :
이렇게하자$\phi(x)=\sum\limits_{k=1}^{k=n}a_k\chi_{E_k}(x)$ 간단한 기능입니다.

그래서 $\int\phi d\lambda=\sum a_k\lambda(E_k)=\sum a_k\mu(f^{-1}(E_k))$
그 후에는 적절한 진행 방법을 볼 수 없습니다.

당신의 도움을 주셔서 감사합니다

Answer 1

간단한 기능에 대한 평등은 주석에서 입증되었습니다. 일반적인 음이 아닌 함수의 경우 아래와 같이 진행할 수 있습니다.

어떠한 것도 $g \geq 0$ 가 비 감소 시퀀스$(\alpha_n)$간단한 함수가 점적으로 수렴합니다. 우리는 다음을 가지고 있습니다.

$$(\alpha_n\circ f)(x) = \alpha_n(f (x)) \leq \alpha_{n+1}(f(x)) \rightarrow g(f(x)) $$

하여 단조 수렴 정리 우리가 얻을 :

$$ \int_{\mathbf{R}} \alpha_n d\lambda =\int_{X} \alpha_n\circ f d\mu \rightarrow \int_X g\circ f d\mu $$