보여줘 $\max_{x \in [a, b]} |f'(x)| \leq \frac{(b-a)^2}{2} \max_{x \in [a, b]}|f''(x)|$.

Question

가정 $f(x) \in C^2([a, b])$ 와 $f(a) = f(b) = 0$. 보여줘$$\max_{x \in [a, b]} |f'(x)| \leq \frac{(b-a)^2}{2} \max_{x \in [a, b]}|f''(x)|.$$

내 작품 : $f'(x_0) = \max_{x \in [a, b]} |f'(x)|$. 하나는 확장 할 수 있습니다$f(x)$ ...에서 $x_0$ 다음과 같이 : $$f(a) - f(x_0) = f'(x_0) (a - x_0) + \frac{1}{2}f''(\xi_1) (a-x_0)^2,~\xi_1\in[a, x_0]$$ $$f(b) - f(x_0) = f'(x_0) (b - x_0) + \frac{1}{2}f''(\xi_2) (b-x_0)^2,~\xi_2\in[x_0, b]$$ 두 방정식의 차이는 $$f'(x_0) (b-a) = \frac{1}{2}\Big[f''(\xi_1)(a-x_0)^2 - f''(\xi_2)(b-x_0)^2\Big].$$ 용어에 도달하는 방법을 모르겠습니다. $\max |f''(x)|$.

Answer 1

진술은 거짓입니다.

허락하다 $a>0$ 정의 $f : [-a,a] \rightarrow \mathbb R : x \mapsto (a^2 - x^2) = (a-x)(a+x).$

그럼 분명히 $f \in C^2[-a,a]$ 와 $f(a) = f(-a) = 0$.

이후 $f'(x) = -2x$ 과 $f''(x) = -2$ 우리는

$$ \max_{x \in [-a,a]} \vert f'(x)\vert = \max_{x \in [-a,a]} \vert -2x \vert = 2a$$

과 $$ \max \vert f''(x)\vert = \max \vert -2 \vert = 2. $$

그러나 우리는 가질 수 없습니다 $$ 2a = \max \vert f' \vert \leq \frac{(a - (-a))^2}{ 2} \max \vert f''\vert = \frac{(2a)^2}{2} 2 = (2a)^2$$

...에 대한 $0<a < \frac{1}{2}.$