보여줘 $x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$ 경계가 있고 단조롭고 한계를 찾습니다.
증명 $x_1 = 0, x_2 = 0, x_{n+2} = \frac{1}{3} x_{n + 1} + \frac{1}{6} x_n + 1$경계가 있고 단조롭습니다. 그런 다음 한계를 찾으십시오.
경계에 대한 나의 시도 :
(유도 사용) 기본 케이스의 경우 $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$. 시퀀스가 제한되어 있다고 가정합니다.$n = k$. 그때,\begin{align*} 0 \leq x_k &\leq 2 \\ \vdots \\ \text{lower bound } \leq x_{k + 1} &\leq \text{upper bound} \end{align*}
나는 용어에 의해 버림 받았다 $x_{n + 2}$ 재귀 공식에서 위의 단계를 생성하는 대수를 볼 수 없습니다. $x_{n + 2}$ 상한 / 하한의 표현에서.
감사합니다.
최신 정보:
나는 이것을 증명에 추가했습니다.
우리는 $0 \leq x_1 = 0 \leq 2$ 과 $0 \leq x_2 = 0 \leq 2$. 시퀀스가 제한되어 있다고 가정합니다.$k+1$,
\begin{align*} 0 &\leq x_{k + 1} \leq 2 \\ 0 &\leq x_k + x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_k + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq \frac{1}{6} x_{k} + \frac{1}{3} x_{k+1} \leq 4 \\ 0 &\leq x_{k+2} \leq 4 \end{align*}
따라서 수학적 귀납 원리에 따라 시퀀스가 제한됩니다.
이것이 유효합니까?
답변
그것을 관찰하십시오 $x_1 = 0$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$, $x_4 = \frac{4}{3}$. 귀납법으로 증명할 수 있습니다.$x_n <2$ 모든 $n$. 불평등이 참이라고 가정하자.$x_1, x_2,\ldots, x_{n+1}$. 그때$$ x_{n + 2} = \frac{1}{3}x_{n + 1} + \frac{1}{6}x_n + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1 = 2. $$이제 우리는 시퀀스가 단조롭게 증가하고 있음을 보여줍니다. 한다고 가정$x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq \ldots \leq x_{n+1}$ 일부 보유 $n\geq 2$. 그때$$ x_{n + 2} - x_{n + 1} = \frac{1}{3}(x_{n + 1} - x_n ) + \frac{1}{6}(x_n - x_{n - 1} ) \geq 0. $$ 그러므로 $x_n$위로부터 제한되고 증가하므로 수렴합니다. 한계$x$ 만족해야한다 $$ x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1, $$ 즉, 우리는 $x=2$.
아니요, 귀하의 주장은 유효하지 않습니다. 당신은 그것을 보여줍니다
$$x_{k+1}\le 2\implies x_{k+2}\le 4.$$
귀납법을 적용하면
$$x_{k+m}\le 2^{m+1}$$ 제한되지 않습니다.
하지만 사용할 수 있습니다
$$x_k,x_{k+1}\le2\implies x_{k+2}=\frac{x_k}{3}+\frac{x_{k+1}}6+1\le\frac23+\frac26+1=2.$$
경계를 위해 Strong Induction을 사용합니다. 시퀀스가 양수라는 것은 사소한 일입니다. 우리는 모두에게 그것을 보여주고 싶습니다$n \in \mathbb{N}$ 우리는 $x_{n} < 2$
- k = 1의 경우 다음과 같습니다. $x_{1} = 0 < 2$
- 허락하다 $n \in \mathbb{N}$ 그리고 모두를 위해 $k \leq n$ 우리는 : $x_{k} < 2$
- 우리는 : $x_{n-1} < 2$ 과 $x_{n} < 2$
그때: $\frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1 < \frac{2}{3} + \frac{2}{6} + 1$
그 후: $x_{n+1} < 2$
단조 로움을 위해 다시 귀납법을 사용하여 모두를 위해 $n \in \mathbb{N}$, $x_{n+1} \geq x_{n}$
- n = 1의 경우 $x_{2} = 0 \geq x_{1}$ 이후 $x_{1} = 0$
- 허락하다 $n \geq 2$ 그리고 모두를 위해 $k \leq n$ 우리는 : $x_{k+1} \geq x_{k}$
우리는 : $x_{n} \geq x_{n-1}$ 과 $x_{n+1} \geq x_{n}$
그 후: $\frac{1}{3}x_{n+1} + \frac{1}{6}x_{n} + 1 \geq \frac{1}{3}x_{n} + \frac{1}{6}x_{n-1} + 1$
그러므로: $x_{n+2} \geq x_{n+1}$
우리는 시퀀스가 증가하고 있고 따라서 모노톤이라고 결론을 내립니다. 그리고 그것은 경계가 있기 때문에 시퀀스가 수렴합니다. 허락하다$L$ 시퀀스의 한계가된다면 $L$ 방정식의 해결책 $x = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x + 1$, 이는 $L = 2$