분기 궤적에 대한 분기 덮개의 제한
부드럽고 콤팩트하며 복잡한 표면이 있다고 가정합니다. $X$, 부드럽고 기약 할 수없는 제수 $B \subset X$. 허락하다$G$유한 그룹이어야합니다. 모든 그룹 에피 모피 즘$$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G,$$ Grauert-Remmert 확장 정리에 의해 부드럽고 복잡한 표면이 있습니다. $Y$ 그리고 Galois 커버 $$f \colon Y \to X,$$ Galois 그룹과 함께 $G$ 기껏해야 분기 $B$.
이후 $B$ 부드럽고 설정 $R =f^{-1}(B) \subset Y$ 우리는 제한이 $$f|_R \colon R \to B$$ Galois 그룹이 포함 된 Unramified Galois 표지입니다. $H=G/G_R$, 어디 $G_R$ 곡선의 안정제입니다. $R$. 이러한 Galois 표지는 차례로 그룹 동형과 일치해야합니다.$$\psi \colon \pi_1(B) \to H,$$ 그것은 $R$ 환원 할 수 없습니다.
질문. 순전히 대수적인 방식으로지도를 복구하는 방법$\psi$ ...에서 $\varphi$ 및 동형 (포함지도에 의해 유도 됨)에서 $$i_* \colon \pi_1(X-B) \to \pi_1(X), \quad j_* \colon \pi_1(B) \to \pi_1(X)?$$
여기에서 "순수한 대수적 방식으로"는 (예를 들어) 3 개의 동형을 구현했다면 $\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G$, $i_*$ 과 $j_*$ GAP4와 같은 소프트웨어에서는 최소한 원칙적으로는 유한 한 명령 시퀀스가 있어야합니다. $\psi \colon \pi_1(B) \to H$.
나는 이것이 가능할 것으로 기대합니다. $\varphi$ 완전히 결정 $f \colon Y \to X$, 그래서 완전히 제한을 결정합니다 $f|_R \colon R \to B$.
답변
불필요한 기하학적 고려 사항을 제쳐두고 자연 차동 토폴로지 설정에서 질문을 재구성하는 것이 유용합니다. 모든 차원에서 문제의 유사성을 고려하는 것도 당연합니다.
따라서 우리가 폐쇄적이고, 방향을 잡을 수 있고, 연결되고, 매끄럽다 고 가정합니다. $n$-다양성 $X$, 그리고 폐쇄적이고, 방향을 잡을 수 있고, 연결되고, 매끄럽고, 공 차원적인$2$ 하위 다양체 $B \subset X$. 우리는 질문에 사용 된 기본 표기법을 채택합니다. 허락하다$G$유한 그룹이어야합니다. 모든 그룹 에피 모피 즘$$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G$$ 닫혀 있고, 방향을 잡을 수 있고, 연결되어 있고, 매끄 럽습니다. $n$-다양성 $Y$ Galois (또는``일반 '') 파급 커버링 맵 $$f \colon Y \to X,$$ 데크 변형 그룹 포함 $G$ 그것은 기껏해야 분기됩니다 $B$.
이후 $B$ 부드럽고 설정 $R =f^{-1}(B) \subset Y$ 우리는 제한이 $$f|_R \colon R \to B$$비 분류 표지입니다. 질문은이 커버링 맵에 대한 명시적인 설명을 찾습니다.
이러한 명시적인 설명을 제공하려고 할 때 발생하는 문제 중에는 $R$ 연결될 필요가 없습니다. $f|_R:R \to B$ Galois 커버링 일 필요는 없습니다. $B$ 과 $X-B$ 동일한 기준점을 가질 수 없습니다.
사물을 명확히하는 데 필요한 추가 데이터는 분기 세트와 해당 경계의 일반 번들입니다. $B$. 이 추가 정보로 질문에 효과적으로 답할 수 있습니다. 우리는이 관점에서
- 언제 특성화 $R$ 연결되었다;
- 언제 특성화 $f$ 실제로 파급 효과가 있습니다.
- 언제 특성화 $R \to B$ Galois입니다.
- 각 구성 요소에 표시 $R$ 분기 된 커버링의 제한은 사실 항상 명시적인 Galois 그룹과 함께 Galois 커버링입니다.
허락하다 $N$ 작은 관형 이웃을 나타냅니다. $B$ 에 $X$, 구조는 $2$-디스크 번들 오버 $B$. 허락하다$D$ 경계가있는 2- 디스크 파이버를 나타냅니다. $C = D \cap \partial N$, 연결 원 $B$. 그때$\partial N$ 원 번들입니다 $B$, 일반 섬유 사용 $C$.
이 원 번들은 다음의 오일러 클래스에 의해 결정됩니다. $H^2(B;\mathbb{Z})$ 그리고 동종 체 그룹의 정확한 순서를 결정합니다 (필수 기준점에 대한 언급을 억제 함). $$ 1 \to \pi_2(\partial N) \to \pi_2(B) \to \pi_1(C) \to \pi_1(\partial N) \to \pi_1(B)\to 1. $$ 이미지 $\pi_1(C)$ 에 $\pi_1(\partial N)$우리의 방향성 가정 때문에 중심에 있습니다. 치수 범위의 유일한 경우$n\leq 4$ 그 $\pi_2(B)\neq 1$ 언제 $n=4$ 과 $B=S^2$. 다른 모든 저 차원의 경우에는 중앙 확장으로 축소됩니다.$\pi_1(B)$ 으로 $\mathbb{Z}$.
일반적으로 다음과 같은 주장 $R$ 연결되어 있어야하는 것과 동일합니다. $f^{-1}(\partial N)$연결됩니다. 그리고 그것은 동형으로 해석됩니다$$ \varphi j_*:\pi_1(\partial N) \to G $$ 순전히, 어디서 $j:\partial N \to X-B$ 포함입니다.
실제 파급이 발생하는 조건은 동형이 $$ \varphi i_*:\pi_1(C) \to G $$ 사소한 것이 아닙니다. $i:C \to X-B$ 포함입니다.
일반적으로 이미지 $\varphi j_*:\pi_1(\partial N)\to G$ 원 번들의 사전 이미지 경로 구성 요소 중 하나에 데크 변환 그룹을 제공합니다. $\partial N$ 에 $Y$. 각 구성 요소에 대해 다음과 같습니다.$R_k$ 분기 세트의 사전 이미지, 프로젝션 $R_k\to B$ 덱 변환 그룹을 포함하는 Galois입니다. $$ \varphi j_*(\pi_1(\partial N))/ \varphi i_*(\pi_1(C)). $$
구성 요소 $R$ 의 행동에 의해 전 이적으로 치환됩니다. $G$ 의 위에 $Y$. 전체 파급 효과$R\to B$ 행동에 대한 몫 맵입니다 $G$ 제한 $R$. 덮음$R\to B$ Galois는 이미지가 $\varphi i_*(\pi_1(C))$ 다음의 정상적인 하위 그룹입니다. $G$,이 경우 커버링 그룹은 $G/ \varphi i_*(\pi_1(C))$.
그건 그렇고, 그 이미지 이후 $\pi_1(C)$ 중심이다 $\pi_1(\partial N)$, 사소하지 않은 파급 효과가 있고 $G$ 중심이 사소한 경우 분기 세트의 사전 이미지를 연결할 수 없습니다.
여기 내 원래 게시물을 보완하는 Allan Edmonds의 답변의 대수 버전이 있습니다 (아래 참조).
허락하다 $\eta\in B$ 일반적인 요점이고 $A$ 완전한 지역 고리 $\eta\in X$, 그래서 $A$완전한 개별 평가 링입니다. 허락하다$\mathfrak{m}$ 최대한의 이상이되고 $k = A/\mathfrak{m}$ 그 잔여 필드 (즉, 기능 필드 $B$) 및 $K$분수 필드입니다. 이후$R\rightarrow B$ etale이고 $B$ 부드럽고 환원 할 수없고 $R$또한 부드럽기 때문에 연결되거나 축소 할 수없는 구성 요소는 일반 점과 함께 이등분합니다. 허락하다$\epsilon\in R$ 연관된 기하학적 점이있는 일반 점 $\overline{\epsilon}$, 그리고 $R_1\subset R$해당 구성 요소입니다. 허락하다$L$ 완전한 로컬 링의 분수 필드 $\epsilon$, 다음 $Gal(L/K) = G_\epsilon := Stab_G(\epsilon)$ 및 관성 그룹 $L/K$ 이다 $G_{\overline{\epsilon}} := Stab_G(\overline{\epsilon})$. 그것은 다음과 같습니다$R_1/B$ Galois 그룹의 Galois입니다. $G_\epsilon/G_{\overline{\epsilon}}$, 내 원래 게시물 (아래)과 일치합니다.
Cohen 구조 정리에 의해 우리는 $K = k((t))$. Allan Edmonds의 호모 토피 정확한 서열과 유사한 것은 etale 기본 그룹의 짧은 정확한 서열입니다.
$$1\longrightarrow \pi_1(\text{Spec }\overline{k}((t)))\longrightarrow \pi_1(\text{Spec }k((t)))\longrightarrow\pi_1(\text{Spec }k)\longrightarrow 1$$ (기준점은 $\overline{k((t))}$), 이후 $k$ 통합의 모든 뿌리를 포함하며 이것은 중심 확장입니다 (Allan Edmond의 관찰과 일치 함).
Allan의지도에 대한 아날로그 "$i_*$"및"$j_*$"는 다음과 같이 주어질 수 있습니다. $K' = \overline{k}((t))$, 그러면지도가 있습니다.
$$\text{Spec }K'\longrightarrow \text{Spec }K\longrightarrow X - B$$ 유도 된지도 $\pi_1(\text{Spec }K')\rightarrow \pi_1(X-B)$ (기준점으로 주어진 기하학적 점 $\overline{k((t))}$)는 Allan의 "$i_*$"및지도 $\pi_1(\text{Spec }K)\rightarrow \pi_1(X-B)$ Allan의 "$j_*$"및 $\varphi : \pi_1(X-B)\rightarrow G$ 단 드로 미 표현을 나타냅니다. 다시 우리는 $R$ 갈루아는 끝났어 $B$ Galois 그룹과 함께 $$\varphi j_*\pi_1(\text{Spec }K)/\varphi i_*\pi_1(\text{Spec }K')$$ 특히 Galois 그룹의 각 구성 요소 $R$ 는 관성 그룹에 의한 관성 그룹의 중심화 몫의 하위 그룹입니다.
원래 게시물 시작 :
답은 아니지만 댓글로 쓰기에는 너무 깁니다. 하나의 구조에 대한 몇 가지 제한을 얻을 수 있습니다$R\rightarrow B$ 다음과 같이 :
Galois 서신과 관련하여 $\pi := \pi_1(B)$, $r\in R$ 포인트, $F$ 섬유 $R/B$ 포함 $r\in R$, 다음 $F$ 다음과 같습니다. $G/G_r$, 통근 조치가 있습니다. $\pi$ 과 $G$ 의 위에 $F$. 이미지$\pi$ 에 $Sym(F)$ 따라서 중앙 집중화에 착륙 $G$-동작. 더욱이$G$-액션 통근 $\pi$-동작, $G$ (전 이적으로) 행동 $\pi$-궤도 $F$, 그리고 $G_{\pi\cdot r}$ 하위 그룹을 나타냅니다. $G$ 궤도 보존 $\pi\cdot r$, 다음 $G_{\pi\cdot r}$ 전 이적으로 행동하다 $\pi\cdot r$, 그리고 그것도 통근하기 때문에 $\pi$-동작, $G_r$ 사소하게 행동하다 $\pi\cdot r$. 그러므로$G_r$ 내부는 정상이다 $G_{\pi\cdot r}$및 연결된 구성 요소 $R$ 모두 동형이고 각 구성 요소는 Galois over $B$ Galois 그룹과 함께 $G_{\pi\cdot r}/G_r$, 이는 자연스럽게 $N_G(G_r)/G_r$ 어디 $N_G(G_r)$ 노멀 라이저 $G_r$ 에 $G$.
특히 예를 들어 $G$ 간단하고 $G \ne G_r$ 그때 $R$ 연결할 수 없으므로 예를 들어 $B$ 충분할 수 없습니다 (Remy의 의견에 의해).
이것에 대해 더 많은 사람이 말할 수 있다면 나는 또한 매우 흥미로울 것입니다.