분할 가능성에 대한 결과 증명

Question

허락하다 $n \ge 3$ 정수 여야합니다.

(ㅏ) $6| n^{n^{n}}- n^{n}$ , 및

(비) $9|n^{n^{n^{n}}}- n^{n^{n}}$

나는이 두 가지를 귀납법으로 증명하려고하지만 귀납 단계를 증명하기 위해 따르는 끝없는 일련의 대수 조작에 혼란스러워 진행할 수 없습니다.

누군가이 문제를 해결하는 더 나은 방법을 말해 줄 수 있습니까? (a)를 푸는 기술을 아는 것이 도움이 될 것이므로 (b)에도 사용할 수 있습니다.

감사합니다.

Answer 1

그것을 관찰하십시오 $$1^1\equiv 1\pmod{6}$$ $$2^2\equiv 4\pmod{6}$$ $$3^3\equiv 3\pmod{6}$$ $$4^4\equiv 4\pmod{6}$$ $$5^5\equiv 5\pmod{6}$$

나는 모두를 위해 그것을 관찰 할 수있다 $n\leq 6,\space n\neq 2$, 우리는 $n^n\equiv n\pmod{6}$

이것은 $n^{n^n}\equiv n^n\pmod{6}\ \forall n\not\equiv 2\pmod{6}$.

이제 언제 $n\equiv 2\pmod{6}$, $n^n\equiv 2^2\equiv 4\pmod{6}$ 과 $n^{n^n}\equiv n^4\equiv 2^4\equiv 4\pmod{6}$, 따라서 $n^{n^n}\equiv n^n\pmod{6}\ \forall n\equiv 2\pmod{6}$

그러므로 $6|n^{n^n}-n^n\ \forall n\in \mathbb Z,\space n\geq 3$

나는 당신이 부분을 해결할 수 있다고 생각합니다 $2$ 지금

Answer 2

$$A=n^{n^n}-n^n=n^n[(n^n)^{n-1}-1]$$

사례 1 : $n-1=2k$ 우리는 :

$$A=n^n[(n^{kn})^2-1]=n^n(n^{kn}-1)(n^{kn}+1)$$

만약 $kn=2m+1$ 그때:

$n^n-1|(n^{kn}-1)$

$n^n+1|(n^{kn}+1)$

따라서:

$(n^n-1)(n^n)(n^n+1)|A$

나눌 수있는 3 개의 연속 된 숫자의이 제품 bt $6$.

비슷한 일이 일어날 때 $n-1=2k+1$.

Answer 3

(ㅏ)

그것을 보여주는 것은 어렵지 않습니다 $n^{n^n}-n^n$ 과 $n^n-n$ 나눌 수있다 $2$. 쓰다$n^n-n=2m$

지금 $$n^{n^n}-n^n=n^n(n^{n^n-n}-1)=n^n(n^{2m}-1)$$ 만약 $n$ 나눌 수있다 $3$, 다음 $n^{n^n}-n^n$ 또한 다음으로 나눌 수 있습니다. $3$

그렇지 않다면 우리는 $(n,3)=1, $ 페르마의 정리는 $n^2 \equiv 1 \mathop{mod} 3$. 그러므로

$$n^2 \equiv 1 \mathop{mod} 3 \\ n^{2m} \equiv 1 \mathop{mod} 3 \\ n^{2m}-1 \equiv 0 \mathop{mod} 3 $$

따라서 우리는 $n^{2m}-1=n^{n^n-n}-1$ 나눌 수있다 $3$. 이것은$n^{n^n}-n $ 나눌 수있다 $6$

(비)

$$n^{n^{n^n}}-n^{n^n}=n^{n^n}(n^{n^{n^n}-n^n}-1)$$ 이전 문제를 사용하여 우리는 $n^{n^n}-n^n$ 나눌 수있다 $6$. 쓰다$n^{n^n}-n^n=6k$

$$n^{n^{n^n}}-n^{n^n}=n^{n^n}(n^{6k}-1) $$ 그럼 언제 $n$ 나눌 수있다 $3$, 다음을 보여주는 것은 간단합니다. $n^{n^{n^n}}-n^{n^n}$ 나눌 수있다 $9$.

그렇지 않다면 $(n,9)=1$ 오일러의 정리는 $$n^6 \equiv 1 \mathop{mod} 9 \\ n^{6k} \equiv 1 \mathop{mod} 9 \\ n^{6k}-1 \equiv 0 \mathop{mod} 9 $$

이것은 $n^{n^{n^n}}-n^{n^n}$ 나눌 수있다 $9$.