분리 가능한 이중으로 약한 토폴로지 Banach 공간

Aug 18 2020

허락하다 $B$ 분리 가능한 이중을 가진 Banach 공간이 되십시오. $(f_n)$ 밀도가 높고 셀 수있다 $B^*$. 허락하다$\tilde{\tau}$ 지도 컬렉션과 관련된 초기 토폴로지 $f_n : B\rightarrow \mathbb{R}$.

내 질문 :$\tilde{\tau}$ 표준 약한 토폴로지 $B$?

내 시도 :

허락하다 $\tau$ 약한 토폴로지를 나타냅니다. $B$. 명백하게,$\tau$ 모든 것을 만든다 $f_n$연속입니다. 존재$\tilde{\tau}$ 그렇게하는 가장 작은 것, $$\tilde{\tau}\subseteq \tau.$$

반대로 저는 그러한 토폴로지를 기반으로 추론하려고했습니다. 임의 수정$x_0 \in B$, $\epsilon >0$$g_1,...,g_N \in B^*$ 그리고 그것을 상기 $U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N):= \{x \in B \colon |g_i(x-x_0)|< \epsilon, \ i=1,...,N\}$ 열린 이웃입니다 $x_0$$\tau$. 결론적으로, 열린 이웃이 있다는 것을 보여주는 것으로 충분합니다.$\tilde{U}$$x_0$$\tilde{\tau}$ 그래서 $\tilde{U}\subset U_{x_0}(\epsilon,g_1,...,g_N)$.

내 추측은 약간을 지불하는 것입니다 $\tilde{\epsilon}$ 요구에 $f_{n_i} \approx g_i$ 모든 $i=1,..,N$ 정의 $\tilde{U}:= U_{x_0}(\tilde{\epsilon},f_{n_1},...,f_{n_N})$,하지만 용어를 경계하는 데 어려움을 겪고 있습니다. $|f_{n_i}(x)-g_i(x)|$ 균일하게 $x$.

답변

KaviRamaMurthy Aug 18 2020 at 09:48

만약 $(f_n)$ 규범에서 밀도가 있어야합니다 $B^{*}$그러면 이것은 아주 쉽습니다. 허락하다$f \in B^{*}$. 존재한다$n_1<n_2<...$ 그런 $\|f_{n_i}-f\| \to 0$. 이것은$f_{n_i} \to f$ 모든 공에 균일하게 $B$. 각각 이후$f_{n_i}$ 연속 wrt $\overline {\tau}$ 그것은 다음과 같다 $f$ 또한 연속 wrt입니다. $\overline {\tau}$. 따라서 모든$f \in B^{*}$ 연속 wrt $\overline {\tau}$. 그 후$\tau \subset \overline {\tau}$.