분수 파생 상품에 대한 질문
나는 분수 미적분에 대해 거의 알지 못하므로 다음 질문이 어리석은 질문이면 미리 사과드립니다. 나는 이미 math.stackexchange를 시도했습니다.
선형이고 다음 속성을 만족하는 분수 미분 개념이 있는지 묻고 싶었습니다. $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ 어디 $\alpha$스칼라입니다. 표준 파생 상품의 경우$\alpha = n$.
대단히 감사합니다.
답변
기본적으로 1 차 및 0 차 연산자를 넘어서는이 방정식에 대한 흥미로운 해결책은 없습니다. $n=2$.
첫째, 우리는 가설을 탈분극 할 수 있습니다.$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ 교체하여 $f$ 와 $f+g, f-g$ 임의의 기능 $f,g$ 빼기 (다음으로 나누기 $4$) 더 유연한 Leibniz 유형 ID를 얻기 위해 $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$
이제 값에 따라 세 가지 경우가 있습니다. $\alpha_2$:
- $\alpha_2 \neq 1,2$. 적용 (2)$f=g=1$ 그런 다음 결론을 $D^u(1)=0$, 그런 다음 (2)를 다시 적용하십시오. $g=1$ 우리는 얻는다 $D^u(f)=0$. 그래서 우리는 사소한 해결책이 있습니다$D^u=0$ 이 경우.
- $\alpha_2=2$. 그때$D^u$A는 유도는 유도에 의해 우리는이$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$, 일반 미분과 마찬가지로 $\alpha_n=n$ 모든 $n$ 부분적인 동작이 없습니다.
- $\alpha_2=1$. 적용 (2)$g=1$ 우리는 (조금 대수 후) $D^u(f) = mf$ 어디 $m := D^u(1)$. 그러므로$D^u$ 단지 승수 연산자입니다. $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$, 따라서 $\alpha_n=1$ 모든 $n$.
따라서 방정식에 대한 일반적인 유도 외에는 선형 솔루션이 없습니다 (예 : $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ 부드러운 기호 $a$) 및 승수 연산자 $D^u(f) = mf$즉, 1 차 및 0 차 연산자.
반면에 분수 파생 상품은 $D^u$ "분수 사슬 규칙"을 따르는 경향이 있습니다. $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ 다양한 부드러운 기능 $F,f$, 오류 $E$이 방정식의 다른 두 항보다 다양한 Sobolev 공간에서 더 나은 추정치를 따릅니다. 특히$F(t) = t^n$, 우리는해야 $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ "좋은"오류 용어 $E$. 예를 들어$u=n=2$ 와 $D$ 일반적인 미분, 우리는 $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$ 와 $E$" carré du champ "연산자$$ E := 2 (Df)^2.$$ 오류가 $E$ 에 의해 균일하게 제어됩니다 $C^1$ 규범 $f$그러나 (3)의 다른 두 용어는 그렇지 않습니다. 내 이전 MathOverflow 답변을 참조하십시오.https://mathoverflow.net/a/94039/766 참고 문헌 및 추가 논의를 위해.
실제로 원하는 것 같습니다. $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, 어디 $\alpha$ 스칼라입니다.
이것이 사실 일 이유가 없으며 일반적으로 실제로 거짓입니다. 예 :$n=2$및 리만 - Liouville 부분 유도체 의$f:=\exp$ 와 $u=1/2$, $a=0$, 및 $x>0$ 우리는 $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ 이므로 $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ 그래서 $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ 상수와는 아주 다릅니다.
또한 용어 $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ 표현에서 $(D^u(f^n))(x)$ 여기 대 용어 $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ 표현에서 $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ 다른 종류의 분수 파생물이 원하는대로 작동하지 않을 가능성이 거의 없습니다.
고전적인 분수 통합 미분에 적용 할 수있는 일반화 된 라이프니츠 공식은 다음과 같습니다.
$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$
어디 $D_L$ 제품 왼쪽에있는 기능을 수행하고 $D_R$올바른 기능에. 예를 들어, Fugere, Gaboury 및 Tremblay 의 새로운 변환 공식 을 통해 분수 미분에 대한 Leibniz 규칙 및 적분 유사체를 참조하십시오 .
이 일반화 된 라이프니츠 규칙은 Francesco Mainardi와 Gianni Pagnini의 "분수 미적분 개발에서 Salvatore Pincherle의 역할"에 설명 된 Pincherle이 제시 한 현명한 공리를 충족하는 분수 통합 미분법에 적용됩니다. 부정적 또는 긍정적. 이 연산의 반복은이 MSE-Q에 표시되며 합류 ( 이 MO-Q 참조 ) 및 일반 초기 하 fct 를 정의하는 데 사용할 수 있습니다 .
이러한 담당자 $D^{\omega}$적분을 통해 오일러 감마의 정의와 베타 기능의 핵심입니다, 적분 계승과 통합 이항 계수의 일반화 (년 / 심판에 대한 내 대답을 참조 이 MO-Q 대부분의 연구자들은 자신의 수학 endeavors-에서 자주 사용하는) -MO에 대한 일부 의견과는 달리. 이 MO-Q (많은 사용자가 푸리에 변환에 의해 정의 된 일부 의사 미분 연산자와 분명히 혼동 함) 의 반도 함수의 예를 참조하십시오 .