분수 파생 상품에 대한 질문

Jan 19 2021

나는 분수 미적분에 대해 거의 알지 못하므로 다음 질문이 어리석은 질문이면 미리 사과드립니다. 나는 이미 math.stackexchange를 시도했습니다.

선형이고 다음 속성을 만족하는 분수 미분 개념이 있는지 묻고 싶었습니다. $D^u((f)^n) = \alpha D^u(f)f^{(n-1)}$ 어디 $\alpha$스칼라입니다. 표준 파생 상품의 경우$\alpha = n$.

대단히 감사합니다.

답변

16 TerryTao Jan 19 2021 at 08:15

기본적으로 1 차 및 0 차 연산자를 넘어서는이 방정식에 대한 흥미로운 해결책은 없습니다. $n=2$.

첫째, 우리는 가설을 탈분극 할 수 있습니다.$$ D^u(f^2) = \alpha_2 D^u(f) f \quad (1)$$ 교체하여 $f$$f+g, f-g$ 임의의 기능 $f,g$ 빼기 (다음으로 나누기 $4$) 더 유연한 Leibniz 유형 ID를 얻기 위해 $$ D^u(fg) = \frac{\alpha_2}{2}( D^u(f) g + f D^u(g) ). \quad (2)$$

이제 값에 따라 세 가지 경우가 있습니다. $\alpha_2$:

  1. $\alpha_2 \neq 1,2$. 적용 (2)$f=g=1$ 그런 다음 결론을 $D^u(1)=0$, 그런 다음 (2)를 다시 적용하십시오. $g=1$ 우리는 얻는다 $D^u(f)=0$. 그래서 우리는 사소한 해결책이 있습니다$D^u=0$ 이 경우.
  2. $\alpha_2=2$. 그때$D^u$A는 유도는 유도에 의해 우리는이$D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1}$, 일반 미분과 마찬가지로 $\alpha_n=n$ 모든 $n$ 부분적인 동작이 없습니다.
  3. $\alpha_2=1$. 적용 (2)$g=1$ 우리는 (조금 대수 후) $D^u(f) = mf$ 어디 $m := D^u(1)$. 그러므로$D^u$ 단지 승수 연산자입니다. $D^u(f^n) = D^u(f) f^{n-1}$, 따라서 $\alpha_n=1$ 모든 $n$.

따라서 방정식에 대한 일반적인 유도 외에는 선형 솔루션이 없습니다 (예 : $D^u(f) = a(x) \frac{d}{dx} f$ 부드러운 기호 $a$) 및 승수 연산자 $D^u(f) = mf$즉, 1 차 및 0 차 연산자.

반면에 분수 파생 상품은 $D^u$ "분수 사슬 규칙"을 따르는 경향이 있습니다. $$ D^u( F(f) ) = D^u(f) F'(f) + E$$ 다양한 부드러운 기능 $F,f$, 오류 $E$이 방정식의 다른 두 항보다 다양한 Sobolev 공간에서 더 나은 추정치를 따릅니다. 특히$F(t) = t^n$, 우리는해야 $$ D^u(f^n) = n D^u(f) f^{n-1} + E$$ "좋은"오류 용어 $E$. 예를 들어$u=n=2$$D$ 일반적인 미분, 우리는 $$ D^2(f^2) = 2 D^2(f) f + E \quad (3)$$$E$" carré du champ "연산자$$ E := 2 (Df)^2.$$ 오류가 $E$ 에 의해 균일하게 제어됩니다 $C^1$ 규범 $f$그러나 (3)의 다른 두 용어는 그렇지 않습니다. 내 이전 MathOverflow 답변을 참조하십시오.https://mathoverflow.net/a/94039/766 참고 문헌 및 추가 논의를 위해.

6 IosifPinelis Jan 19 2021 at 05:33

실제로 원하는 것 같습니다. $D^u(f^n)=\alpha f^{n-1} D^u f$, 어디 $\alpha$ 스칼라입니다.

이것이 사실 일 이유가 없으며 일반적으로 실제로 거짓입니다. 예 :$n=2$및 리만 - Liouville 부분 유도체 의$f:=\exp$$u=1/2$, $a=0$, 및 $x>0$ 우리는 $$f(x)^{n-1}(D^uf)(x)=e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{x}\right)+\frac{e^x}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ 이므로 $$(D^u(f^n))(x)=\sqrt{2} e^{2 x} \text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)+\frac{1}{\sqrt{\pi } \sqrt{x}},$$ 그래서 $$\frac{D^u(f^n)}{f^{n-1}\,D^uf}$$ 상수와는 아주 다릅니다.

또한 용어 $\text{erf}\left(\sqrt{2} \sqrt{x}\right)$ 표현에서 $(D^u(f^n))(x)$ 여기 대 용어 $\text{erf}\left(\sqrt{x}\right)$ 표현에서 $f(x)^{n-1}(D^uf)(x)$ 다른 종류의 분수 파생물이 원하는대로 작동하지 않을 가능성이 거의 없습니다.

5 TomCopeland Jan 19 2021 at 05:02

고전적인 분수 통합 미분에 적용 할 수있는 일반화 된 라이프니츠 공식은 다음과 같습니다.

$$ D^{\omega}\; f(x)g(x) = \sum_{n \geq 0} \binom{\omega}{n} [D^{\omega-n}f(x)]D^ng(x)=(D_L+D_R)^{\omega} g(x)f(x),$$

어디 $D_L$ 제품 왼쪽에있는 기능을 수행하고 $D_R$올바른 기능에. 예를 들어, Fugere, Gaboury 및 Tremblay 의 새로운 변환 공식 을 통해 분수 미분에 대한 Leibniz 규칙 및 적분 유사체를 참조하십시오 .

이 일반화 된 라이프니츠 규칙은 Francesco Mainardi와 Gianni Pagnini의 "분수 미적분 개발에서 Salvatore Pincherle의 역할"에 설명 된 Pincherle이 제시 한 현명한 공리를 충족하는 분수 통합 미분법에 적용됩니다. 부정적 또는 긍정적. 이 연산의 반복은이 MSE-Q에 표시되며 합류 ( 이 MO-Q 참조 ) 및 일반 초기 하 fct 를 정의하는 데 사용할 수 있습니다 .

이러한 담당자 $D^{\omega}$적분을 통해 오일러 감마의 정의와 베타 기능의 핵심입니다, 적분 계승과 통합 이항 계수의 일반화 (년 / 심판에 대한 내 대답을 참조 이 MO-Q 대부분의 연구자들은 자신의 수학 endeavors-에서 자주 사용하는) -MO에 대한 일부 의견과는 달리. 이 MO-Q (많은 사용자가 푸리에 변환에 의해 정의 된 일부 의사 미분 연산자와 분명히 혼동 함) 의 반도 함수의 예를 참조하십시오 .