CDF 찾기 $Y=X+|X-a|$ 어디 $X\sim\text{unif}[0,b], b>a>0$
주어진 $X\sim\text{unif}[0,b]$, 다음 확률을 찾아야합니다.
$$F(y)\triangleq\mathbb{P}(Y\leq y)$$
모든 $y\in\mathbb{R}$, 어디 $Y=X+|X-a|$ 과 $b>a>0$ 양의 상수가 주어집니다.
나의 시도 : 분명히$Y\in[a,2b-a]$따라서 $F(y)=0$ 모든 $y<a$ 과 $F(y)=1$ 모든 $y\geq2b-a$. 이제 계산 만하면됩니다.$F(y)$ ...에 대한 $y\in[a,2b-a)$:
$$F(y)=\mathbb{P}(X+|X-a|\leq y)= \\=\mathbb{P}(2X-a\leq y \mid X<a)\mathbb{P}(X<a)+\mathbb{P}(a \leq y \mid X>a)\mathbb{P}(X>a) = \\ =\frac ab\mathbb{P}(X\leq \frac{y+a}{2} \mid X<a)+\frac{b-a}{b}\mathbb{P}(a \leq y \mid X>a)\triangleq\frac ab P_1+\frac{b-a}{b} P_2$$
나는 그것을 생각했다 $[X|X<a]\sim\text{unif}[a,b]$따라서 :
$$P_1=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{\frac{y+a}{2}}\text{d}x=\frac 12 \frac{y-a}{b-a}$$
나는 사실을 사용했다 $(y+a)/2<b$ 내가 생각했기 때문에 $y<2b-a$. 이제 내 문제가 있습니다. 작업하는 방법을 모르겠습니다.$P_2$. 내 추측은$P_2=1$ 하는 한 $y\geq a$ (그리고 이것은 내 가정과 정확히 일치합니다. $y\in[a,2b-a)$), 그러나이 경우 :
$$F(y)=\frac{a}{2b} \frac{y-a}{b-a}+\frac{b-a}{b}$$
이것은 나에게 의미가 없습니다. 이유는 다음과 같습니다. 내 계산이 사실이면$F(a)=(b-a)/b$하지만 실제로 :
$$F(a)=\mathbb{P}(Y\leq a)=\mathbb{P}(Y=a)+\mathbb{P}(Y<a)=\mathbb{P}(Y=a)=\mathbb{P}(X\leq a)=a/b$$
($\mathbb{P}(Y<a)=0$ 이후 $Y\geq a)$
감사합니다!
답변
일부 사례가 취소되었습니다. 만약$X < a$, 다음 $|X - a| = a - X$, 그 후 $Y = a$이 경우. 노트
$$Y = \begin{cases} a, & X \in [0,a] \\ 2X - a, & X \in (a, 1]. \end{cases}$$
따라서, $$\Pr[Y \le y] = \Pr[a \le y \mid X \le a]\Pr[X \le a] + \Pr[2X - a \le y \mid X > a]\Pr[X > a].$$ 그 이후 $$\Pr[a \le y \mid X \le a] = \mathbb 1(y \ge a) = \begin{cases} 0, & y < a, \\ 1, & y \ge a, \end{cases}$$ 과 $$\Pr[X \le \tfrac{a+y}{2} \mid X > a] = \frac{\frac{a+y}{2} - a}{b-a} \mathbb 1(y \ge a) = \frac{y-a}{2(b-a)} \mathbb 1(y \ge a)$$ 우리는 얻는다 $$\Pr[Y \le y] = \mathbb 1 (y \ge a)\left( \frac{a}{b} + \frac{y-a}{2(b-a)}\frac{b-a}{b}\right) = \frac{a+y}{2b} \mathbb 1(y \ge a)$$ 유한 경계를 수정 한 후 $X$, 제공 $$\Pr[Y \le y] = \begin{cases} 0, & y < a \\ \frac{a+y}{2b}, & a \le y \le 2b-a \\ 1, & y > 2b-a. \end{cases}$$