찾기 $f:f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$

Question

찾기 $f:f(xf(x)+f(y))=f(x)^2+y$
도메인 및 공동 도메인은 실수입니다.

: 나는 다음과 같은 한
하자를$s=f(0)$
그때 $f(f(y))=s^2+y$ 그래서 $f$ 추측이다

또한, $f(x)=f(y)\implies f(xf(x)+f(y))=f(xf(x)+f(x))\implies x=y$ 그래서 $f$ 주사제

그래서, $f$bijective입니다. 시키는$f(x)=0, y=0$
우리는 얻는다 $f(f(0))=0 \implies s=f(0)=0$
사실로 $f(f(x))=x$ 모든 $x$

시키는 $x=1,y=0$ 우리는 얻는다
$f(f(1))=f(1)^2\implies 1=f(1)^2 \implies f(1)=1$ 또는 $f(1)=-1$

만약 $f(1)=1$ 우리는 $x=1$ 얻기 위해
$f(y+1)=f(y)+1$
귀납적으로 이것은 $f(x)=x$ 모든 정수

만약 $f(1)=-1$ 우리는 $x=1$ 얻기 위해
$f(y-1)=f(y)+1$
귀납법으로 우리는 $f(x)=-x$ 모든 정수

내가 모르는 실수로 도메인을 확장하는 방법, 어떤 도움을 주시면 감사하겠습니다

Answer 1

허락하다 $x=f(u)$, 사용하여 $f(x)=f(f(u))=u$ 하나는 지금 얻는다 $f(u f(u)+f(y))=u^2+y$. 교체하여$u$ 와 $x$, 그것은 모두를 위해 다음과 같습니다 $x$, $f(x)^2 = x^2$, 따라서 모두 $x$, $f(x) = \pm x$. 표시가 다음에 달려 있는지 확인하는 것은 남아 있습니다$x$.