체계 이론의 폐쇄성

Question

허락하다 $X$ 계획이되고 $(U_i)_{i\in I}$ 열린 덮개,

(1) 주어진 부분 집합 $Z\subset X$, 왜 $Z\cap U_i$ 모두를 위해 폐쇄 $i$ 암시한다 $Z$ 닫혀 있습니까?

(2)하자 $A$반지가 되십시오. 형태 파 계획이 주어지면$f:X\rightarrow \operatorname{spec} A$ 그런 $f_Y:X \times_{\operatorname{spec}A} Y\rightarrow Y$ 모든 아핀에 대해 폐쇄 됨 $A$ 계획 $Y$, 이것은 의미합니까 $f$ 보편적으로 닫혀 있습니까?

Answer 1

(1) 그때부터

$$X-Z=\bigcup_i \left(U_i-(U_i\cap Z)\right)$$

이후 $U_i\cap Z$ 폐쇄 $U_i$ 우리는 그것을 본다 $U_i-(U_i\cap Z)$ 열려있다 $U_i$ 따라서 오픈 $X$.

(2) 예, 1). 확인하려면$f$ 보편적으로 폐쇄하자 $Y$ 아무거나 $A$-계획. 우리는 그것을 보여줄 필요가 있습니다$f(X_Y)$ 폐쇄 $Y$. 하지만$Y=\bigcup_i U_i$ affine open subschemes 용 $U_i$ 의 $Y$. 1) 그것을 보는 것으로 충분합니다.$f(X_Y)\cap U_i$ 모두를 위해 폐쇄 $i$. 그러나$f(X_Y)\cap U_i=f(X_{U_i})$. 실제로 이것은 데카르트 다이어그램에서 다음과 같습니다.

$$\begin{matrix} X_{U_i} & \to & X_Y & \to & X\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow\\ U_i & \to & Y & \to & \mathrm{Spec}(A)\end{matrix}$$

그래서, 그것을 보여 주면 충분합니다 $f(X_{U_i})$닫힙니다. 하지만 이후$U_i$ 아핀이다 $A$-우리는 이것을 가정으로 알고 있습니다.

Answer 2

계획의 유한 형태가 닫힙니다. . 여기에서 첫 번째 부분에 대한 답을보십시오.

허락하다 $Y$ 콩 $A$-계획. 말하다$Y=\bigcup_i Y_i$ 어디 $Y_i \subset Y$개방형 아핀 하위 체계입니다. 보여줄 것이다$f_Y : X\times_A Y\rightarrow Y$닫힌지도입니다. 허락하다$C\subset X\times_A Y$. 세트$C_i:= C\cap X\times_A Y_i=(id \times \theta_i)^{-1}(C)$. 그때$C_i$ 폐쇄 $X\times_A Y_i$ 개방형 하위 계획 인 $X\times_A Y$. 우리는 교환 다이어그램이 있습니다$\require{AMScd}$ \ begin {CD} X \ times_A Y_i @> {f_ {Y_i}} >> Y_i \\ @V {id \ times \ theta_i} VV @V {\ theta_i} VV \\ X \ times_A Y @> {f_Y} >> Y \ end {CD} $f_Y(C)\cap Y_i=\theta_i^{-1}f_Y(C)=f_{Y_i}(id\times \theta_i)^{-1}C=f_{Y_i}(C_i)$ 폐쇄 된 $Y_i$가정에 의해. 따라서 이전 부분에서$f(C)$ 폐쇄 $Y$. 그러므로$f$ 보편적으로 폐쇄됩니다.