체적 제약이있는 영역에 대해 실린더가 안정적이지 않습니다.

Aug 21 2020

표면 고려 $f:\Omega\to\mathbb{R}^3$ 가우스지도 $\nu:\Omega\to\mathbb{S}^2$, 그리고 각각 $p\in\Omega$ 내가 표시하자 $\kappa_1,\kappa_2$ 주요 곡률 $f$ ...에서 $p$즉, 점에서 모양 연산자의 고유 값입니다.

일정한 평균 곡률 표면의 맥락에서 표면은 $f$면적의 두 번째 변형이 만족하는 경우 체적 제약 하에서 면적에 대해 안정 이라고합니다.

\ begin {equation} \ delta_ {u \ nu} ^ 2 A_U (f) =-\ int_U u \ Delta_f u + (\ kappa_1 ^ 2 + \ kappa_2 ^ 2) u ^ 2 \, dS \ geq 0 \ end {equation } 모든 일반적인 변형$u\in\mathcal{C}_0^\infty(\Omega,\mathbb{R})$ 와 $\int_U u\,dS=0$, 어디 $U=\text{supp}\;u$. 이 질문에서$\Delta_f$ 표준 라플라시안을 나타냅니다.

실린더가 안정적 이지 않은지 확인하고 싶습니다 . 높이 실린더를 고려해 보겠습니다.$2\pi$ 그리고 반경 $1/(2H)$, 평균 곡률 포함 $H>0$.

이 표면의 경우 주요 곡률을 계산할 수 있습니다. $\kappa_1=0$ 과 $\kappa_2=\pm\frac{1}{2H}$ (표시는 선택에 따라 다릅니다. $\nu$). 그때,$\kappa_1^2+\kappa_2^2=\frac{1}{4H^2}$.

다음으로 실린더를 매개 변수화합니다.

\ begin {equation} C (\ theta, z) = \ left (\ frac {1} {2H} \ cos \ theta, \ frac {1} {2H} \ sin \ theta, z \ right), \ quad ( \ theta, z) \ in [0,2 \ pi] \ times [0,2 \ pi] \ end {등식}

그런 다음 영역 요소 $dS$ 이다 $dS=\frac{1}{2H}\,d\theta dz$.

실린더가 안정적이지 않기 때문에 허용 가능한 변형 함수를 찾아야합니다. $u$ 그런 $\delta_{u\nu}^2 A_U(f)<0$. 이를 위해 변주 함수를 사용하겠습니다.

\ begin {equation} u (\ theta, z) = \ sin \ left (\ frac {1} {2H} \ sin \ theta \ right). \ end {등식}

확인할 수 있지만 $\int_U u\,dS=0$, 등 $u$ 허용되는 기능, 컴퓨팅 $\delta_{u\nu}^2 A_U(f)<0$ 할 수 없습니다 (컴퓨터 지원도 아님).

이 예제는 (손으로도!) 충분히 확인할 수있는 예제 여야하므로 다른 함수를 사용하여 계산을 완료하고 싶습니다. $u$. 누구나 변형 기능을 제안 할 수 있습니까?$u$ 그게 더 쉬워요?

답변

1 ArcticChar Aug 21 2020 at 19:29

첫째, 두 번째 변형은 \ begin {equation} \ delta_ {u \ nu} ^ 2 A_U (f) = \ int_S | \ nabla u | ^ 2-(\ kappa_1 ^ 2 + \ kappa_2 ^ 2) u ^ 2 \, dS, \ \ \ \ text {for all} u \ in C ^ \ infty_0 (S), \ end {equation} 밀도 사용$C^\infty_0(S) \subset W^{1,2}_0(S)$ 와 더불어 $W^{1,2}$표준, \ begin {equation} \ int_S | \ nabla u | ^ 2-(\ kappa_1 ^ 2 + \ kappa_2 ^ 2) u ^ 2 \, dS \ ge 0, \ \ \ \ text { 모두를 위해} u \ in W ^ {1,2} _0 (S), \ end {equation}

실린더에서 $\ell >0$, 고려 $$u_\ell (\theta, z) =\begin{cases} \sin \left( \frac{z}{\ell} \right), & \text{ if } |z|\le \pi \ell, \\ 0, & \text{ otherwise.}\end{cases}$$

그때 $u_\ell \in W^{1,2}_0$, $\int_S u_\ell = 0$ 과 \begin{align} \int_S|\nabla u_\ell|^2 -(\kappa_1^2+\kappa_2^2)u_\ell^2\,dS &= 2\pi \int_{-\pi\ell}^{\pi \ell} \frac{1}{\ell^2} \left| \cos\left( \frac{z}{\ell} \right)\right|^2 - \frac{1}{4H^2} \left| \sin \left( \frac{z}{\ell} \right)\right|^2 \, dz \\ &= 2\pi \left(\frac{1}{\ell^2} - \frac{1}{4H^2}\right) \int_{-\pi\ell}^{\pi \ell} \left| \cos\left( \frac{z}{\ell} \right)\right|^2 \, dz. \end{align}