측정하는 경우 $\mu$ 외부 조치의 제한에서 발생 $\mu^{*}$, 그것이 사실입니까 $\mu$ 포화 상태입니까?
측정 $\mu$ 측정 가능한 공간에 $(X, \mathcal{M})$ 하위 집합이 주어지면 포화 상태라고합니다. $E$ 의 $X$ 조건 $E \cap A \in \mathcal{M}$ 모든 $A \in \mathcal{M}$ 와 $\mu(A) < \infty$ 암시한다 $E \in \mathcal{M}$ (즉, 로컬에서 측정 할 수있는 $X$측정 가능). 포화 조치에 관한 위키 백과 기사는 "외부 조치의 제한으로 발생하는 조치가 포화"고 주장한다.
외부 측정 자체가 사전 측정에서 발생할 때이 결과를 증명하는 방법을 알고 있지만 ( 이 질문 에 대한 답변에서 좋은 증거를 찾을 수 있음 ) 모든 외부 측정이 사전 측정에 의해 생성되는 것은 아니므로 제가 원합니다 이전 주장이 실제로 사실인지 알기 위해, 그렇다면 일반적인 경우 결과를 어떻게 증명할 수 있습니까?$\mu$ 외부 조치의 제한으로 인해 $\mu^{*}$ 포화 상태입니까?
결과의 타당성을 확신하지 못해서 세트를 고려하여 반례를 구성 해 보았습니다. $X = \{0,1\}$ 그리고 외부 측정 $\mu^{*} : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0, \infty]$ 주어진 $\mu^{*}(\emptyset)=0$, $\mu^{*}(\{0\}) = 2$, $\mu^{*}(\{ 1 \})=2$ 과 $\mu^{*}(X)=3$ 사전 측정에 의해 생성되지 않고 $\emptyset$ 과 $X$ 유일한 두 $\mu^{*}$-측정 가능한 하위 집합 $X$. 문제는이 외부 측정에 의해 유도 된 측정이$\mu^{*}$ 포화 상태이므로 ($ \ mu ^ {*} (X)는 유한하기 때문에), 반례가 존재한다면 그것을 아는 것이 좋을 것입니다.
외부 측정 값의 제한으로 얻은 모든 측정 값이 실제로 포화 상태 인 경우이 결과의 증거를 알고 싶습니다. 측정 공간 $ (X, \ mathcal {M} ^ {*}, \ 윗줄 {\ MU}) $ 여기서 $ \ mathcal {M} ^ {} * $가 인 $ \ 시그마 $ -algebra에 $ X $ 의 구성된 $ \ MU ^ {} * $ 의 서브셋 -measurable $ X $ 및 $ \ overline {\ mu} $ 는 외부 측정 값 $ \ mu ^ {*} $ 에서 $ \ mathcal {M} ^ {*} $ 로 제한 한 다음 외부 측정 값을 고려하여 $ \ mu ^ {+} 라고 말합니다. $ , 측정 값 $ \ overline {\ mu} $ . 외부 측정 값 $ \ mu ^ {+} $ 는 측정 값 $ \ overline {\ mu} $ 에 의해 유도 되었으므로 $ \ mu ^ {+} $ 를 $ \ mu ^ 컬렉션으로 제한하여 얻은 측정 값을 알고 있습니다. {+} $- $ X $ 의 측정 가능한 하위 집합 ( 예 : $ \ hat {\ mu} $ )은 포화 된 측정 값이며 $ \ mathcal {M} ^ {*} $ 가 다음과 같으면 증명을 완료 할 수 있다고 생각합니다. 동일 $ \ 시그마 $ -algebra의 $ \ MU ^ {+} $ 의 -measurable 서브셋 $ X $ 과 $ \ MU ^ {+} = \ MU ^ {*} $ (하지만이 경우 만 참 생각 원래의 외부 측정 값 $ \ mu ^ {*} $ 는이 가정을 떨어 뜨렸을 때 원하는 결과를 증명하는 원래 문제로 돌아 가게하는 사전 측정에 의해 유도됩니다.
어떤 힌트 나 아이디어라도 대단히 감사 드리며 귀하의 답변에 대해 미리 감사드립니다.
답변
OK 나는 일반적인 경우 (외부 측정이 사전 측정에 의해 유도되지 않은 경우) 결과가 거짓임을 보여주는 반례를 찾은 것 같습니다. 만약$\mu^{*} : \mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow [0, \infty]$ 에 의해 정의 된 외부 측정 값입니다. $\mu^{*}(\emptyset) = 0$, $\mu^{*}(A) = 1$ 만약 $A$ 셀 수 있고 비어 있지 않습니다. $\mu^{*}(A) = \infty$ 만약 $A$ 셀 수 없습니다.
쉽게 알 수 있습니다. $\mu^{*}$ 에 대한 외부 측정입니다 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$.
자, 만약 $E$ 비어 있지 않은 적절한 하위 집합입니다. $\mathbb{R}$, $x \in E$ 과 $y \in \mathbb{R} \setminus E$, 다음 $\{x,y\}$ 분명히 비어 있지 않은 셀 수있는 하위 집합입니다. $\mathbb{R}$, $\{x,y\} \cap E = \{x\}$, 및 $\{x,y\} \cap E^{c} = \{y\}$, 그래서 $\{x,y\} \cap E$, 및 $\{x,y\} \cap E^{c}$ 비어 있지 않은 셀 수있는 하위 집합입니다. $\mathbb{R}$게다가. 정의에서$\mu^{*}$ 우리는 그것을 얻습니다 $\mu^{*}(\{x,y\}) = 1 < 1+1 = \mu^{*}(\{x,y\} \cap E) + \mu^{*}(\{x,y\} \cap E^{c})$ 결과적으로 $E$ 아니다 $\mu^{*}$-측정 가능한 하위 집합 $\mathbb{R}$.
위의 주장은 $\emptyset$ 과 $\mathbb{R}$ 둘 뿐이야 $\mu^{*}$-측정 가능한 하위 집합 $\mathbb{R}$, 그건 $\mathcal{M}^{*} = \{ \emptyset , \mathbb{R} \}$ (어디 $\mathcal{M}^{*}$ 나타냅니다 $\sigma$-대수 $\mu^{*}$-측정 가능한 하위 집합 $\mathbb{R}$). 그러나 비어 있지 않은 적절한 하위 집합$F$ 의 $\mathbb{R}$ 측정 공간에서 로컬로 측정 가능 $(X, \mathcal{M}^{*}, \mu^{*}|_{\mathcal{M}^{*}})$ 이후 $\emptyset$ 의 유일한 요소입니다 $\mathcal{M}^{*}$ 유한 한 척도로 $\mu^{*}|_{\mathcal{M}^{*}}$ 과 $F \cap \emptyset = \emptyset \in \mathcal{M}^{*}$. 비어 있지 않은 적절한 하위 집합이$F$ 의 $\mathbb{R}$ 아니다 $\mu^{*}$-측정 가능한 우리는 $\mu^{*}|_{\mathcal{M}^{*}}$ 포화 척도가 아닙니다.