치수 및 임베딩과 혼동
나는 토폴로지에 익숙하지 않으며 아마도 매우 간단한 (또는 철학적) 질문에 대해 미리 사과드립니다.
나는 항상 토러스를 도넛 모양의 표면으로 생각했습니다. $\mathbb{R}^3$. 그러나 토폴로지를 연구하기 시작한 후 토러스가$S^1 \times S^1$ 그리고 그것은 자연스럽게 정의됩니다 $\mathbb{R}^4$. 그러나 동시에 내가 이해했듯이 토러스의 인기있는 3D 표현은$\mathbb{R}^3$따라서 임베딩의 정의에 따라 자연스러운 4D 토러스는 쉽게 시각화 된 3D 토러스에 동종입니다.
우리가 원환 체를 만들기 위해 정사각형의 몫을 취할 때 (변을 식별하여), 이것을 시각화하기 위해 우리 자신을 속이지 않습니까? $\mathbb{R}^3$, 실제 4d 원환 체의 "조각"을 얻었 기 때문입니다. 여기에서 임베딩이 동 종파라고 말함으로써 내 질문에 답했을 수도 있지만, 여전히 차원, 임베딩 및 동 종파 사이 의 연결 이 무엇인지 이해하고 싶습니다 .
원환 체는 2 차원입니다. 2 개의 점이 그것을 정의하기에 충분하기 때문입니다. $S^1$), 그러나 각 원은 자연스럽게 $\mathbb{R}^2$, 따라서 우리는 $\mathbb{R}^4$.
토러스를 "투영"할 때 "정보"를 잃어 버리는가 $\mathbb{R}^4$ ...에 $\mathbb{R}^3$? 시각적 손실일까요 아니면 토폴로지일까요?
3 볼을 넣는 것을 상상할 수 있습니다 $\mathbb{R^3}$ 2 볼 (디스크)로 "축소"합니다. $\mathbb{R}^2$ 으로 $z \to 0$. 이 전환 동안$\mathbb{R}^3$ ...에 $\mathbb{R}^2$ 우리는 분명히 시각 정보와 위상 정보를 모두 잃었습니다 (n-ball은 m-ball에 동종입니다. $\iff$ n = m).
동종 형성은 "내부"차원을 보존하지만 외부 (외부) 공간에 대해서는 "관심"하지 않습니까?
답변
나는 '자연스러운'원환 체를 $S^1 \times S^1$ 앉아 $\mathbb{R}^4$. 토러스를 보는 방법에는 여러 가지 (동종 형)가 있으며, 그중 하나는 친숙한 '도넛'그림입니다. 다른 두 가지는 다음과 같습니다.$S^1 \times S^1$ 앉아 $\mathbb{R}^4$, 또는 지시 한대로 제곱의 몫으로.
결론은 수학자에게 토러스 는 그 자체로 하나의 객체라는 것 입니다. 내장 할 수있는 주변 유클리드 공간이 존재하는지 여부는 어떤 의미에서는 관련이 없습니다. 모양을 정의하는 '개방형 하위 집합'모음과 함께 점 집합 일뿐입니다.
질문에 답하기 위해 : 주어진 토폴로지 공간 (예 : 공간 $X$몫 토폴로지 반송 대향 측)을 식별하여 제곱의 지수 인, 우리는 시도 할 수 시각화 하여 매립 유클리드 공간으로한다. 위상 공간의 임베딩$X$ 유클리드 공간으로 $\mathbb{R}^n$ 지도 일뿐 $\phi: X \rightarrow \mathbb{R}^n$ 그런 $\phi: X \rightarrow \phi(X)$ 동 종파입니다.
그래서, 그것은 $X$ 삽입 될 수 있습니다 $\mathbb{R}^3$,뿐만 아니라 $\mathbb{R}^4$. 이것을 '실현'으로 생각하십시오.$X$더 큰 주변 공간에서. 이 두 가지 실현은 모두$X$(임베딩이 무엇인지에 대한 정의에 따라) 그래서 그들은 또한 서로 동종입니다. 따라서 정보가 손실되지 않습니다.
원환 체의 '도넛'그림을에서 실현의 투영 된 버전으로 생각하는 것은 올바르지 않습니다. $\mathbb{R}^4$. 진행중인 투영이 없습니다 (예 : 3D의 수직 원통을 수평면의 원 조각에 투영 할 때). 도넛은 4D 모양의 3D 슬라이스 가 아니라 동일한 모양 입니다.
토러스의 치수가 다음과 같다고 말하는 것이 맞습니다. $2$. 이 치수는 주변 공간과도 무관합니다. 따라서 동종 성 (Homeomorphism)은이 차원을 보존하고 외적 차원에는 신경 쓰지 않습니다. 여기에는 약간의주의 사항이 있습니다. 위상 공간에 대해 '차원'이 의미하는 바를 정의하는 것은 매우 어렵습니다. 따라서 토러스가 차원 2를 갖는다는 주장을 증명하는 것은 어렵습니다.