최대 및 최소 $\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ 미적분없이

Question

최소값과 최대 값을 찾는 방법 $y=\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ 모든 실제 값에 대해 $x$ 미적분을 사용하지 않고?

아마도 분자와 분모가 한 쌍의 포물선이 대칭이라는 사실에 주목하여 그래픽으로 수행 할 수 있습니다. $x$ 축이지만 계속하는 방법을 모르겠습니다.

감사!

Answer 1

최대 보자 $f(x) = \frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}$ 있다 $m$. 그때:

$$x^2-3x+4 = mx^2 + 3mx + 4m$$ $$(m-1)x^2 + (3m+3)x + (4m - 4) = 0$$

우리는이 방정식이 단 하나의 실수 근 (이중근)을 갖기를 원합니다. $$\Delta = 0 \Rightarrow (3m+3)^2-4(m-1)(4m-4) = 0.$$

최소 ($n$)는 다음과 같이 곱하여 동일한 방정식을 산출합니다. $-1$ 값을 변경하지 않습니다. $m$. 따라서 최대 값과 최소값은 모두이 방정식에 의해 제공됩니다.

Answer 2

$$\dfrac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}=1-\dfrac{6x}{x^2+3x+4}=1-\dfrac6{x+\dfrac4x+3}$$

이제 $x>0, x+\dfrac4x\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac4x}=4$

$\implies\dfrac1{x+\dfrac4x+3}\le\dfrac17\implies-\dfrac6{x+\dfrac4x+3}\ge-\dfrac67$

만약 $x<0, x=-y, y>0, x+\dfrac4x=-\left(y+\dfrac4y\right)$

여기서 가져올 수 있습니까?

Answer 3

힌트 wehave $$\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4}=y$$ $$x^2(y-1)+x(3y+3)+4y-4=0$$판별자를 0보다 크거나 같게 설정

Answer 4

그들은 미적분을 사용해서는 안된다고 명시하지 않았지만 더 간단한 방법으로 풀 수 있는지 궁금했습니다 – Monocerotis Nov 20 at 8:19

고마워요, 당신은 많은 분화와 대체에서 저를 구했습니다 – Monocerotis 11 월 20 일 8:46

문제를 해결하는 가장 간단한 방법은 미적분을 사용하는 것입니다.

몫 규칙 을 적용하면 다음을 얻을 수 있습니다.$y'(x)=(\frac{x^2-3x+4}{x^2+3x+4})'=\frac{(2x-3)(x^2+3x+4)-(2x+3)(x^2-3x+4)}{(x^2+3x+4)^2}$.

조건을 넣은 후 $y'(x)=0$ 분자 확장 $y'(x)$, 다음을 얻습니다.

$x^2-4=0$, 솔루션은 다음과 같습니다.

$x_1=2$ 과 $x_2=-2$.

결론적으로:

$y_{max}=7$ (에 대한 $x=-2$) 및 $y_{min}=\frac{1}{7}$ (에 대한 $x=2$).