초기 데이터의 매개 변수가있는 코시 문제

Question

중히 여기다

\ begin {cases} y '= y ^ {\ frac {1} {3}} \\ y (0) = k \ in \ mathbb {R} \ end {cases}

• 어떤 값에 대해 $k$ 문제에 고유 한 로컬 솔루션이 있습니까?
• 다른 값에 대해 $k$ 문제에 둘 이상의 해결책이 있습니다.

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나는) $f(t,y)=y^{\frac{1}{3}}$ 연속 함수입니다. $\mathbb{R}^2$, 동안 $f_y=-\frac{2}{3 y^{2/3}}$ 불연속적인 $0$. 따라서$(0,k)$ 와 $k\ne0$, $f_y$ 연속적이므로 지역적 존재와 솔루션의 고유성이 있습니다.

ii) 먼저 $f(t,y)$Lipschitz가 아니므로 독창성을 기대하지 않습니다. 실제로$k=0$, $y(t)=0$ 솔루션이며 통합을 통해 $$y(t)=\sqrt{\Bigl( \frac{3t}{2} \Bigr)^3}$$

** 모든 것이 맞습니까? **

Answer 1

첫 번째 부분은 정확하고 두 번째 부분은 올바르지 않습니다. 하지만 당신은 좋은 생각을 가지고있었습니다.

$y(t)=\sqrt{\big(\frac{3t}{2}}\big)^3=\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{3}{2}$ 그때 $y'(t)=\frac{3}{2}\times\Big(\frac{3t}{2}\Big)^\frac{1}{2}\times\frac{3}{2}=\frac{3^2}{2^2}\times y^\frac{1}{3}\neq1\times y^\frac{1}{3}$.

지금 고려 $y(t)=\sqrt{\big(\frac{2t}{3}}\big)^3$ 그리고 확인 $y'=y^\frac{1}{3}$.