축소 할 수없는 격자의 곱과 동형 인 완전한 격자는 무엇입니까?
완전한 latices 제품군이 주어지면 $\{\mathcal{L}_i\}_{i\in I}$ 모두를위한 st $i\in I$ 우리는 $\mathcal{L}_i=(X_i,\leq_i,\wedge^i,\lor^i)$ 과 $X=\prod_{i\in I}X_i$ 완전한 격자를 정의 할 수 있습니다. $\mathcal{L}=\prod_{i\in I}\mathcal{L}_i$ (제품이라고 부르세요) $X$ 성 $\mathcal{L}=(X,\leq,\wedge,\lor)$, 정의 $a,b\in X$ 다음과 같이 : $a\leq b\iff \forall i\in I(\pi_i(a)\leq_i\pi_i(b))$ 또한 $S\subseteq X$ 그때 $\small\bigwedge_{f\in S}f=\{(i,\bigwedge^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ 과 $\small\bigvee_{f\in S}f=\{(i,\bigvee^i_{f\in S}\pi_i(f)):i\in I\}$ 또한 우리는 하나의 요소가있는 격자를 사소한 것으로 부르고 완전한 격자라고 말합니다. $\mathfrak{L}$ 두 개 이상의 사소하지 않은 완전한 격자로 구성된 패밀리가 존재하지 않는 경우 환원 할 수 없습니다. $\{\mathfrak{L}_{i}\}_{i\in I}$ 성 $\mathfrak{L}\cong \prod_{i\in I}\mathfrak{L}_i$. 이제 모든 것이 말했듯이, 내 질문은 언제 완전한 격자가 축소 불가능한 격자의 곱과 동형입니까? 예를 들어 이것을 결정하기위한 '기본'또는 '유용한'기준이 있습니까? 축소 불가능한 격자의 곱과 동형 이 아닌 완전한 격자의 예는 무엇입니까 ? 누군가 나에게 이것들 중 몇 개를 줄 수 있습니까?
명백하게 유한 완전 격자는 축소 불가능한 격자의 곱과 동형입니다. 격자 자체가 축소 불가능한 경우 수행되지 않으면 부모의 하위 격자 인 두 격자로이를 고려하여 각 격자보다 작은 집합에 격자로 표현할 수 있습니다. 부모 세트, 따라서이 프로세스를 계속해서 반복하면 결국 제품이 부모와 동일한 축소 불가능한 격자 패밀리가 제공됩니다 (이 프로세스는 각 격자에 대해 종료되어야하며 이러한 격자는 더 작은 크기의 세트에 있으며 정의에 따라 모든 사소한 격자는 축소 할 수 없습니다. 따라서 그러한 격자를 하나의 요소에 대한 집합으로 줄이면 완료됩니다).
또한 완전한 격자가있는 경우 $L_1\cong L_2\times L_3$축소 불가능한 격자의 실제와 동형 이 아닙니다.$L_2$ 또는 $L_3$축소 불가능한 격자의 곱에 대해 동형 이 아닙니다. 따라서 이전 프로세스를 적용하여 축소 불가능한 격자의 실제에 동형이 아닌 격자 는 무한한 수의 하위 격자를 포함해야하며 축소 불가능한 격자의 곱과도 동형이 아닙니다.
답변
들어 분배 격자, 이러한 질문을 이해하는 아주 간단한 방법이있다. 즉,$L=A\times B$ 두 격자, 요소의 곱입니다 $(1,0)$ 과 $(0,1)$ 서로의 보완 (조인은 $1$ 그리고 그들의 만남은 $0$). 반대로$L$ 분배 격자이고 $a,b\in L$ 서로의 보완 물인 경우 $L\cong A\times B$ 어디 $A=\{x\in L:x\leq a\}$ 과 $B=\{x\in L:x\leq b\}$. 실제로 주문 보존지도가 있습니다.$f:L\to A\times B$ 매핑 $x$ ...에 $(x\wedge a,x\wedge b)$ 그리고지도 $A\times B\to L$ 배상 $(x,y)$ ...에 $x\vee y$ 반대입니다 $f$ 이후 $L$ 분배 적입니다.
따라서 분산 격자는 중요하지 않은 보완 요소가없는 경우 축소 할 수 없습니다. 분배 격자의 보완 요소 세트$L$ 부울 대수를 형성합니다. $B(L)$. 또한 분배 격자가$L$ 제품입니다 $\prod_{i\in I} L_i$, 다음 $B(L)= \prod_{i\in I} B(L_i)$.
특히 $L$ (사소하지 않은) 축소 불가능한 격자의 곱입니다. $\prod_{i\in I} L_i$, 다음 $B(L)=\prod_{i\in I}B(L_i)\cong \mathcal{P}(I)$, 각각 $B(L_i)$ 두 요소 격자입니다. $\{0,1\}$. 게다가,$L_i\cong\{x\in L:x\leq e_i\}$ 어디 $e_i\in L$ 이다 $1$ 에 $i$일 좌표와 $0$ 다른 요소와 이러한 요소 $e_i$ 부울 대수의 원자 일뿐입니다. $B(L)$. 이 식별을 통해$L\to L_i$ 단지지도입니다 $x\mapsto x\wedge e_i$.
따라서 우리는 분배 격자가 $L$ 지도에서 축소 할 수없는 격자의 곱과 동형 $f:L\to\prod_{i\in I}L_i$ 동형입니다. 여기서 $I$ 원자의 집합 $B(L)$, $L_i=\{x\in L:x\leq i\}$, 그리고 $i$일 좌표 $f$ 지도입니다 $x\mapsto x\wedge i$. 만약$L$ 완료되었습니다. $L_i$자동으로 완료됩니다. 특히, 필요한 조건$L$ 비 환원 격자의 곱과 동형이되는 것은 $B(L)$ 거듭 제곱 세트 부울 대수와 동형이됩니다.
예를 들어 $L$ 멱 집합에 동형이 아닌 완전한 부울 대수입니다. $L$축소 할 수없는 격자의 산물이 아닙니다. 명시적인 예를 들어,$L$ 정기적으로 열린 하위 집합의 격자가 될 수 있습니다. $\mathbb{R}$, 또는 Borel 하위 집합의 격자 $\mathbb{R}$ Lebesgue 측정의 모듈로 세트 $0$. 다른 종류의 예를 들어,$L$Cantor 세트의 열린 하위 집합의 격자가 될 수 있습니다. 그때$B(L)$ Cantor 집합의 클로 펜 하위 집합에 대한 부울 대수로 원자가 없으며 실제로는 완전하지도 않습니다.
예를 들어 $B(L)$ 파워 세트이지만 $L$ 여전히 축소 불가능한 격자의 산물이 아닙니다. $L$ 열린 하위 집합의 격자 $\beta\mathbb{N}$. 그때$B(L)\cong\mathcal{P}(\mathbb{N})$, 그러나 그 원자는 싱글 톤입니다 $\{n\}$ ...에 대한 $n\in\mathbb{N}$ 그래서지도 $L\to\prod_{i\in I}L_i$ 위에서 설명한대로지도입니다 $L\to\mathcal{P}(\mathbb{N})$ 공개 하위 집합 보내기 $\beta\mathbb{N}$ 그것의 교차점에 $\mathbb{N}$, 이는 주사제가 아닙니다.