Chung Erdős 불평등 증명에 Schwarz 불평등 사용

Question

나는 Chung Erdős 불평등의 증거를 이해하려고 노력하고 있습니다. 내가 찾을 수있는 모든 출처 (MSE 관련 질문 및 답변 포함)는 다음 줄을 따라 설명합니다.$A_1, \ldots, A_n$ 이벤트이며 $X_i$ 특성 함수에 의해 주어진 랜덤 변수입니다. $A_i$, $i = 1, \ldots, n$, Schwarz 부등식에서 다음 부등식이 따릅니다.

$$[E(X_1+...+X_n)]^2 \leq P(X_1+...+X_{n}>0)E[(X_{1}+...+X_n)^2]$$

나는 아마도 이것에 대해 특히 어리석은 것 같지만 위의 것을 얻기 위해 Schwarz 불평등을 적용하는 방법을 볼 수 없습니다.

Answer 1

Cauchy-Schwarz 불평등의 한 가지 형태는 $E[UV]^2\le E[U^2] E[V^2]$. (이것은 내적과 함께 2 차 모멘트가있는 실수 값 랜덤 변수의 공간에 적용되는 일반적인 CS 부등식입니다.$\langle X,Y\rangle=E[XY]$.)

이 경우 적용 $U=X_1+X_2+\cdots+X_n$ 과 $V=I_{U>0}$. 참고$E[U]=E[UV]$, 그 $V^2=V$ 그리고 그 $E[V^2] = E[V] = P(U>0)$, 불평등 전달 $$E[X_1+\cdots+X_n]^2 = E[UV]^2\le E[V^2] E[U^2] = P(X_1+\cdots+X_n>0)E[(X_1+\cdots+X_n)^2].$$

Answer 2

허락하다 $X = X_1 + \cdots + X_n$ 및 표시 $f$ 확률 밀도 함수.

쓰다 $X f = \sqrt{f} (X \sqrt{f})$. 그때

$$\left(\int X f dX\right)^2 \leq \int f dX \int X^2 f dX$$

작성자 : Cauchy-Schwarz.