Compact Lie 그룹의 향상된 분류
이 질문은 분류 (연결된 것은 아님) 컴팩트 거짓말 그룹에 대한 후속 조치 입니다. 그 질문에 대한 대답에서, @LSpice 증명이있는 소형, 반드시 연결 리 군$G$ 형태를 취하다 $$ G = \frac{G_0 \rtimes R}{P} $$ 어디 $G_0$ 의 정체성 구성 요소입니다 $G$, $R$ 유한 그룹이고 $P$ 유한 한 공통 하위 그룹입니다. $G_0$ 과 $R$ 그것의 중심 $G_0$ (하지만 중심이 될 필요는 없습니다. $R$).
그럼에도 불구하고 반 직접 제품에 대한 많은 가능성이 있습니다. 목록의 범위를 좁히려면 다음 요소를 분리하는 것이 편리합니다.$R$ 사소하지 않은 외부 automorphisms에 의해 작동하는 $G_0$ 통근하도록 나머지를 수정합니다. $G_0$.
업데이트 : 내 원래 가설 (아래)은 거짓입니다. 더 약하고 아마도 올바른 버전은 다음과 같습니다.
가설 : $R$ 과 $P$ 위의 모든 요소를 선택할 수 있습니다. $R$ 어느 쪽이든 (1)에 대한 사소하지 않은 외부 automorphism에 의해 작동합니다. $G_0$ 또는 (2) 사소한 행동 $G_0$.
업데이트 2 : @LSpice는 (반드시 연결되지는 않은) compact Lie 그룹 분류 에 대한 업데이트 된 답변에서 이것을 증명했습니다 . 증명에 대한 간결한 표현은 아래 내 대답에 나와 있습니다.
이에 비해 이것은 거짓입니다.
가설 : 모든 간결한 거짓말 그룹 $G$ 형식으로 작성할 수 있습니다. $$ G = \frac{(G_0 \times H) \rtimes R}{P} $$ 어디 $H, R, P$ 유한 그룹 및 중요하지 않은 요소 $R$ 사소하지 않은 외부 automorphisms에 의해 작동 $G_0$.
반례 : 고려 $G = U(1) \rtimes \mathbb{Z}_4$, 여기서 발전기 $r$ 의 $\mathbb{Z}_4$ ``전하 접합 ''외부 자동 형태에 의해 작용 $r^{-1} e^{i \theta} r = e^{-i \theta}$ 의 위에 $U(1)$. 유한 확장에서$G'$ 이 그룹의 요소 $\pi_0(G)$ 전하 활용에 의한 행동은 절대로 $G'$, 그래서 $G'$ 요구되는 것을 결코 받아들이지 않는다 $(G\times H) \rtimes \mathbb{Z}_2$ 형성하다 $\mathbb{Z}_2$ 행동 $U(1)$ 전하 결합에 의해.
답변
@LSpice는 (반드시 연결되어 있지는 않은) compact Lie 그룹 분류 에 대한 업데이트 된 답변에서 이미 수정 된 추측을 입증 했지만, 밀접하게 관련된 또 다른 증거를 제공하겠습니다.
이후 $1\to \mathrm{Inn}(G_0) \to \mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0) \to 1$항상 분할됩니다 . Aut (G) → Out (G)은 컴팩트하고 연결된 Lie 그룹 G에 대해 항상 분할됩니까? , 하위 그룹을 선택할 수 있습니다.$R_0 \subseteq \mathrm{Aut}(G_0)$ 제한 사항 $\mathrm{Aut}(G_0) \to \mathrm{Out}(G_0)$동형입니다. 역 이미지$R_0$ 지도 아래 $f:G \to \mathrm{Aut}(G_0)$ 접합에 의해 유도되는 하위 그룹 $K \subseteq G$ 누구와 교차 $G_0$ 이다 $Z(G_0)$.
곱하기 $g\in G$ 임의적으로 $h \in G_0$ 관련된 곱하기 $f(g) \in \mathrm{Aut}(G_0)$ 임의의 내부자가 형성에 의해 $f(h) \in \mathrm{Inn}(G_0)$, 변경하지 않고 $g$의 연결된 구성 요소입니다. 그러므로,$K$ 모든 연결된 구성 요소를 충족 $G$.
연결된 성분이 유한하게 많은 In any Lie 그룹 의 결과를 사용하여 모든 성분을 충족하는 유한 하위 그룹이 있습니까? ,$K$ 유한 하위 그룹이 있습니다. $R$ 모든 구성 요소를 충족하는 $K$따라서 모든 구성 요소를 충족합니다. $G$ 뿐만 아니라 교차 $G_0$ 이내에 $Z(G_0)$. 설계 상$R$ 사소하지 않은 외부 automorphisms에 의해 작동하거나 $G_0$ 또는 그들은 사소하게 행동합니다 $G_0$. 이것은 나의 (수정 된) 추측을 증명합니다.
주석 추가 : 흥미롭지 만 거짓된 일반화가 아래에 언급되고 반증되었습니다.
연결된 모든 소형 Lie 그룹은$G_0$ 형태를 취하다 $$G_0 = \frac{T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell}{P}$$ 어디 $T^k$ 는 $k$-큰 쇠시리, $G_1, \ldots, G_\ell$ 콤팩트하고 간단하게 연결되며 단순한 거짓말 그룹이며 $P$중심입니다. 식의 몫이$G$ 과 $G_0$ 결합 될 수 있습니다. $G$ 다음과 같은 형식을 취합니다. $$ G = \frac{(T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell) \rtimes R}{P} $$ 각 요소 이전과 같이 $R$ 사소하지 않은 아우터에 의해 행동하거나 사소하게 행동 $T^k \times G_1 \times \ldots \times G_\ell$. 그러나 이것은 false 입니다.
반례 : 고려 $G=(\mathrm{SO}(2k) \rtimes \mathbb{Z}_4) / \mathbb{Z}_2$, 여기서 발전기 $r \in \mathbb{Z}_4$ 패리티로 작동 $\mathrm{SO}(2k)$ 과 $r^2 = -1 \in SO(2k)$. 이제$G’=(\mathrm{Spin}(2k) \rtimes R)/P$ 표지가되다 $G$ 연결된 구성 요소는 $G_0'=\mathrm{Spin}(2k)$. 몇 가지 요소가 있습니다$r'$ 의 $R$ 그 프로젝트 $r$, 그 후 $r’$ 행동하다 $\mathrm{Spin}(2k)$패리티로. 만약$k$ 이상하다, 그럼 $Z(G_0') = \mathbb{Z}_4$, 및 $(r’)^2$ 순서 4의 두 요소 중 하나 여야합니다. $Z(G_0')$ 투영하다 $(r)^2 = -1$. 그러나 패리티는이 두 요소를 교환하므로$(r’)^{-1} (r’)^2 r’ \ne (r’)^2$, 이것은 모순입니다. 심지어의 경우$k$ 매우 유사합니다.