다음 사이의 상관 계수 찾기 $X_{(1)},X_{(3)}$
다음과 같은 질문이 있습니다.
허락하다 $X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}$ 세 개의 독립 확률 변수의 통계적 순서 $X_1,X_2,X_3$ 균일 한 분포 $[0,1]$. 다음 사이의 상관 계수 찾기$X_{(1)},X_{(3)}$.
우리는 알고 있습니다 $X_{(k)}\sim Beta(k,4-k)$ 그래서 우리는 : $$ Var\left(X_{(k)}\right)=\frac{k\cdot(4-k)}{(k+(4-k))^{2}\cdot(k+(4-k)+1)}=\frac{k(4-k)}{80}, E\left(X_{(k)}\right)=\frac{k}{(4-k)+k}=\frac{k}{3} $$ 다음 정리를 사용하여 계산할 수 있습니다. $Corr\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)$: $$ Corr\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)=\frac{Cov\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)}{\sqrt{Var\left(X_{(1)}\right)}\sqrt{Var\left(X_{(2)}\right)}}=\frac{E\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)-E\left(X_{(1)}\right)E\left(X_{(3)}\right)}{\sqrt{Var\left(X_{(1)}\right)}\sqrt{Var\left(X_{(2)}\right)}} $$ 계산해야 할 유일한 것은 $E\left(X_{(1)},X_{(3)}\right)$. 솔루션에서 확률 밀도 함수는 다음과 같습니다.
나는 그들이 왼쪽 함수를 어떻게 계산했는지 이해하지 못한다. 설명을 보니 기쁠 것입니다. 그들은 어떤 정리를 사용 했습니까?
답변
차수 통계에 대한 삼중 관절 밀도 함수 는 이러한 세 가지 정렬 된 값에 맞는 샘플 배열 에 대한 확률 밀도 함수입니다.$x\leqslant y\leqslant z$.
이 세 가지 샘플은 동일하고 독립적으로 분포되어 있으므로 다음 과 같습니다.
$$\begin{align}f_{\small\! X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}}\!(x,y,z) &={( f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(x,y,z) + f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(x,z,y)+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(y,x,z)\\+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(y,z,x)+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(z,x,y)+f_{\small\! X_1,X_2,X_3\!}(z,y,x))~\mathbf 1_{x\leqslant y\leqslant z}} \\[1ex] &= 3!\,f_{\!\small X_1}\!(x)\,f_{\!\small X_1}\!(y)\,f_{\!\small X_1}\!(z))\;\mathbf 1_{x\leqslant y\leqslant z}\\[1ex]&=3!\,\mathbf 1_{0\leqslant x\leqslant y\leqslant z\leqslant 1}\end{align}$$
관절 pdf에 대한 한계 $X_{(1)}$ 과 $X_{(3)}$ 최소 차수와 최대 차수 통계 사이의 모든 중간 값에 대한 정수입니다.
$$\begin{align}f_{\small\! X_{(1)},X_{(3)}}\!(x,z) &=\int_x^z f_{\small\! X_{(1)},X_{(2)},X_{(3)}}\!(x,y,z) ~\mathrm d y \\[2ex]&= 3!~(z-x)~\mathbf 1_{0\leqslant x\leqslant z\leqslant 1}\end{align}$$
비슷하게: $$\begin{align}f_{\small X_{(1)}}(x)&= 3\,(1-x)^2~\mathbf 1_{0\leqslant x\leqslant 1}\\[3ex]f_{\small X_{(2)}}(y)&=3!\,y(1-y)\,\mathbf 1_{0\leqslant y\leqslant 1}\\[3ex]f_{\small X_{(3)}}(z)&= 3\,z^2\,\mathbf 1_{0\leqslant z\leqslant 1}\end{align}$$
그게 다입니다.
답에 대한 지름길은 $(X_{(1)}, X_{(2)} - X_{(1)}, X_{(3)} - X_{(2)}, 1 - X_{(3)}) = (p_1, p_2, p_3, p_4)$ 심플 렉스에 균등하게 분포합니다. 즉, $\operatorname{Dirichlet}(1,1,1,1)$분포. 따라서,$\text{Cov}(X_{(1)}, X_{(3)}) = -\text{Cov}(p_1, p_4)$ Dirichlet 분포의 속성을 사용하는 것은 $(1 \times 1) / (4^2 * 5) = 1/80$. 우리도 가지고있다$\text{Var}(X_{(1)}) = \text{Var}(X_{(3)}) = \text{Var}(p_1) = \text{Var}(p_4) = 3/80$ 그래서 상관 관계는 $1/3$.