닫힌 단위 간격에 대한 볼록 함수의 속성 $[0,1]$.

Nov 26 2020

연속 및 볼록 함수 고려 $F(x):[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}$. 나는 궁금하다

  1. $F(x)$ 지속적으로 차별화 할 수 있습니다. $[0,1]$

  2. $F(x)$ 한정된 변동입니다 $[0,1]$

  3. $F(x)$ 절대 연속입니다 $[0,1]$.

볼록 함수가 제한된 변동임을 증명하는 이 게시물로 인해 두 번째 것이 정확합니다 .

그러나 나머지 두 명은 나에게 신비 로워졌다. 로이든의 6 장은 개방 간격이 있으면 이에 대한 답을 제공합니다.

추론 17 : Let $\varphi$ 볼록 함수 $(a,b)$. 그때$\varphi$ Lipschitz이므로 닫힌 경계 하위 구간마다 절대적으로 연속적입니다. $[c,d]$$(a,b)$

정리 18 : Let $\varphi$ 볼록 함수 $(a,b)$. 그때$\varphi$ 셀 수있는 점수를 제외하고는 구별 할 수 있습니다.

Theorem 18에 따르면 $F(x)$ 차별화 될 것입니다 $[0,1]$. 그러나 나는 반례를 찾을 수 없습니다. 즉, 연속되는 볼록 함수$[0,1]$ 그러나 구별 할 수 없습니다.

추론 17은 우리에게 꽤 좋은 결과를 제공하지만 닫힌 간격에는 적용되지 않는 것 같습니다. 우리가 가지고 있다면 말할 수 있습니까?$F(x)$ 의 위에 $[0,1]$ 볼록하면 볼록합니다. $(-\epsilon, 1+\epsilon)$? 그리고 우리는 추론 17을 사용하여 그것이 절대적으로 연속적이라는 결론을 내릴 수 있습니다.$[0,1]\subset (-\epsilon, 1+\epsilon)$.

감사합니다!

답변

3 AlexRavsky Nov 29 2020 at 06:21

주어진 실수 $a<b$, 연속 및 볼록 함수가 $F(x):[a,b]\longrightarrow\mathbb{R}$절대적으로 연속적입니다. 이후$F$ 콤팩트 세트의 연속 기능입니다. $[a,b]$ 어느 시점에서 최소값에 도달 $c\in [a,b]$. 볼록도$F$ 그것을 의미 $F$ 증가하지 않음 $[a,c]$ 감소하지 않는 $[c,b]$. 따라서 다음과 같은 경우를 고려하는 것으로 충분합니다.$F$ 단조 롭다 $[a,b]$.

허락하다 $\varepsilon>0$숫자가 될 수 있습니다. 기능 이후$F$ 연속적이다 $a$$b$, 존재 $0<\delta'<|b-a|$ 그런 경우 $x,y\in [a,b]$$|x-a|\le\delta’$, $|y-b|\le\delta’$ 그때 $|F(a)-F(x)|\le\varepsilon/3$$|F(b)-F(y)|\le\varepsilon/3$. 단조로운$F$ 모든 가족을 위해 $(x_n,y_n)$ 에 포함 된 분리 된 개방 간격의 $[a,a+\delta’]\cup [b-\delta’,b]$ 우리는 $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le 2\varepsilon/3$.

추론 17, $F$ 절대적으로 연속적입니다. $(a+\delta’, b-\delta’)$, 그래서 실수가 있습니다 $\delta\le \delta’$ 유한 가족을 위해 $(x_n,y_n)$ 에 포함 된 분리 된 개방 간격의 $(a+\delta’, b-\delta’)$ 최대 총 길이의 $\delta$ 우리는 $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon/3$.

위의 내용은 유한 가족이 $(x_n,y_n)$ 에 포함 된 분리 된 개방 간격의 $[a, b]$ 최대 총 길이의 $\delta$ 우리는 $\sum |F(y_n)-F(x_n)|\le \varepsilon$.